Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die dadurch gegebene Folge.

1. Kann ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen eine von ${}0$ verschiedene Zahl konvergieren?
2. Muss ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}0$ konvergieren?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der einzige Körperisomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

die Identität ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ und ${}v\in \mathbb {Q}$.

1. Zeige, dass ${}u$ genau dann irrational ist, wenn ${}u+v$ irrational ist.
2. Es sei zusätzlich ${}v\neq 0$. Zeige, dass ${}u$ genau dann irrational ist, wenn ${}u\cdot v$ irrational ist.

Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann irrational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ eine irrationale Zahl und sei

${}G={\left\{a+bu\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.$

a) Zeige, dass ${}G$ eine Untergruppe von ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ ist.

b) Zeige, dass es kein Element ${}v\in \mathbb {R}$ mit

${}G=\mathbb {Z} v={\left\{cv\mid c\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

gibt.

c) Zeige, dass es in ${}G$ kein positives minimales Element gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten ${}y_{0}=x_{0}$ und ${}z_{0}=0$ rekursiv durch

${}y_{n+1}={\begin{cases}y_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}\geq x_{n}\,,\\y_{n}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und

${}z_{n+1}={\begin{cases}z_{n}+x_{n+1}-x_{n},{\text{ falls }}x_{n+1}<x_{n}\,,\\z_{n}{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

1. Zeige, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ wachsend ist.
2. Zeige, dass ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ fallend ist.
3. Zeige

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,.$

   Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass man die alternierende Folge ${}(-1)^{n}$ nicht als Summe

${}(-1)^{n}=y_{n}+z_{n}\,$

schreiben kann, wenn ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkte und monotone Folgen sind.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$. Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei eine reelle Folge rekursiv durch

${}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,$

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ${}x_{0}>a$ ist ${}x_{n}>a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ${}x_{0}=a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei ${}x_{0}<a$ ist ${}x_{n}<a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede wachsende, nach oben beschränkte Folge in ${}K$ konvergiert. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ${}f_{n}$ ist rekursiv definiert durch

$f_{1}:=1\,,f_{2}:=1{\text{ und }}f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}.$

Aufgabe

Es sei ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge der Fibonacci-Zahlen und

${}x_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}\,.$

Zeige, dass diese Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und dass der Grenzwert ${}x$ die Bedingung

${}x=1+x^{-1}\,$

erfüllt. Berechne daraus ${}x$.

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

${}f_{n}={\frac {{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}-{\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}}{\sqrt {5}}}\,$

gilt (${}n\geq 1$).

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}x_{n+1}:={\frac {(k-1)x_{n}+{\frac {a}{x_{n}^{k-1}}}}{k}}\,$

eine Folge definiert wird, die gegen ${}{\sqrt[{k}]{a}}$ konvergiert.

Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

$a_{n}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {n}}-3}{3{\sqrt {n}}-2}}}$

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,11{\overline {05}}$

gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch ${}0{,}{\overline {3}}$ gegeben ist.

Aufgabe

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch ${}0{,}{\overline {17}}$ gegeben ist.

Aufgabe *

Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und sei

${}x=0,{\overline {0\ldots 01}}\,$

die reelle Zahl mit Periodenlänge ${}m$ (die Periode besteht aus ${}m-1$ Nullen und einer ${}1$). Sei

${}y=\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\,$

mit ${}z_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$. Zeige

${}xy=0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{1}z_{0}}}\,.$

Aufgabe

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ${}v>0$) hat einen Vorsprung ${}s>0$ gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit ${}w>v$ und dem Startpunkt ${}0$). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ${}s_{0}=s$ ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle ${}s_{1}>s_{0}$. Wenn Achilles an der Stelle ${}s_{1}$ ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle ${}s_{2}>s_{1}$, u.s.w.

Berechne die Folgenglieder ${}s_{n}$, die zugehörigen Zeitpunkte ${}t_{n}$, sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.

Aufgabe

Es sei ${}k\geq 2$. Zeige, dass die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}$

konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass die Folge ${}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}a_{n}={\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Dezimalbruchfolge in ${}K$ konvergiert. Zeige, dass ${}K$ vollständig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Die Teilmenge

${}S=\mathbb {Q} +\mathbb {Q} {\sqrt {3}}={\left\{x+y{\sqrt {3}}\mid x,y\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,$

ist ein Körper. Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven Ringhomomorphismus

$\varphi \colon S\longrightarrow S$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

$x_{n}={\frac {2n+5{\sqrt {n}}+7}{-5n+3{\sqrt {n}}-4}}$

definierten reellen Folge.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$. Zeige, dass man im Allgemeinen nicht

${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,$

mit einer wachsenden Cauchy-Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und einer fallenden Cauchy-Folge ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert ${}x$. Zeige, dass die Folge ${}{\sqrt {x_{n}}}$ gegen ${}{\sqrt {x}}$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,23{\overline {4707}}$

gegeben ist.