Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 44/latex
\setcounter{section}{44}
\zwischenueberschrift{Beispiele für Folgen}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{,}
die gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
heißt \definitionswort {Nullfolge}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cauchy_sequence_-_example.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cauchy sequence - example.png } {} {Pred} {da.wikipedia} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputbeispiel{}
{
Eine \stichwort {konstante Folge} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ = }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist stets konvergent mit dem Grenzwert $c$. Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Aufwandszahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen kann. Es ist ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-c }
}
{ =} { \betrag { c-c }
}
{ =} { \betrag { 0 }
}
{ =} { 0
}
{ <} {\epsilon
}
}
{}{}{}
für alle $n$.
Es sei nun $K$ ein
\definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.}
Dann ist die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
mit dem Grenzwert $0$. Es sei dazu ein beliebiges
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,}
vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms
\zusatzklammer {siehe
Lemma 25.5} {} {}
gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ n_0 } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n_0 } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 7n }{ 2^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$. Die Anfangsglieder sind
\mathdisp {0 ,\, { \frac{ 7 }{ 2 } } ,\, { \frac{ 7 }{ 2 } } ,\, { \frac{ 21 }{ 8 } } ,\, { \frac{ 7 }{ 4 } } ,\, { \frac{ 35 }{ 32 } } ,\, { \frac{ 21 }{ 32 } } ,\, { \frac{ 49 }{ 128 } } ,\, { \frac{ 7 }{ 32 } } \ldots} { . }
In der Tat ist dies eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Nach
Satz 27.11
gibt es nämlich ein $m$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^n
}
{ \geq} { n^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Für diese $n$ ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7n }{ 2^n } }
}
{ \leq} { { \frac{ 7n }{ n^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu einem vorgegebenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man zusätzlich noch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ { \frac{ 7 }{ \epsilon } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen, daher ist dies kleinergleich $\epsilon$.
}
\inputbemerkung
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
ist eine Folge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_n }{ 10^n } }
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n z_{-i} 10^{-i}
}
{ =} { z_0,z_{-1} z_{-2} z_{-3} \ldots z_{-n}
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bzw. mit Ziffern
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ z_{-i}
}
{ \in }{ \{0,1 , \ldots , 9\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_n }{ 10^n } }
}
{ \leq} { { \frac{ a_{n+1} }{ 10^{n+1} } }
}
{ <} { { \frac{ a_n+1 }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine solche Folge, also eine \anfuehrung{Kommazahl}{,} muss im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {konvergieren}{}{.}
Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen
\mathl{a,b}{} starten und den
\definitionsverweis {Divisionsalgorithmus}{}{}
\mathl{a:b}{} durchführen, um die Ziffern
\mathl{z_{-i}}{} zu erhalten, so konvergiert nach
Korollar 28.11
die zugehörige Dezimalbruchfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n z_{-i} 10^{-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegen die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ a }{ b } }}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $K$.}
\faktfolgerung {Dann besitzt $x_n$ maximal einen Grenzwert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte
\mathbed {x,y} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
gibt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \defeq }{ \betrag { x-y }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \defeq }{ d/3
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0} { }
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_0'$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-y } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0'} { . }
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{\max\{n_0,n_0'\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der
Dreiecksungleichung der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { \betrag { x-y }
}
{ \leq} { \betrag { x-x_n } + \betrag { x_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon+ \epsilon
}
{ =} { 2 d/3
}
}
{}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $K$. Die Folge $x_n$ heißt \definitionswort {beschränkt}{,} wenn es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq B \text { für alle } n \in \N} { }
gibt.
}
\zwischenueberschrift{Rechenregeln für Folgen}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Wenn eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $K$
\definitionsverweis {konvergent}{}{} ist,}
\faktfolgerung {so ist sie auch
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die konvergente Folge mit dem Limes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Dann ist insbesondere
\mathdisp {\betrag { x_n } \leq \betrag { x } + \betrag { x-x_n } \leq \betrag { x } +\epsilon \text { für alle } n \geq n_0} { . }
Unterhalb von $n_0$ gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ \defeq} { \max_{n <n_0}\{ \betrag { x_n } ,\, \betrag { x } + \epsilon \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wohldefiniert ist. Daher ist $B$ eine obere Schranke und $- B$ eine untere Schranke für
\mathl{{ \left\{ x_n \mid n \in \N \right\} }}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Dann ist die \stichwort {alternierende Folge} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {(-1)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {konvergent}{}{.}
Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte
\mathkor {} {1} {und} {-1} {}
vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Grenzwert sei. Dann gilt für positives
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedes ungerade $n$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ =} {1+x
}
{ \geq} {1
}
{ >} {\epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser $\epsilon$-Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Beschränkte Folge/Nullfolge/Produkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{}
und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {beschränkte}{}{}
Folge in $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Schranke für
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Da
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Nullfolge ist, gibt es zu
\mathl{{ \frac{ \epsilon }{ B } }}{} ein $n_0$ derart, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ { \frac{ \epsilon }{ B } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Für diese Indizes ist dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n y_n }
}
{ =} { \betrag { x_n } \cdot \betrag { y_n }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ B } } \cdot B
}
{ =} { \epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wie bei einer Dezimalbruchfolge, die man ja
\zusatzklammer {mit den Ziffern $z_{-i}$} {} {}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n z_{-i} 10^{-i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben kann, wird eine Folge oft als eine Summe in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Die Folgenglieder sind also die Teilsummen, die sich aus den einzelnen Summanden ergeben. Solche Folgen nennt man auch \stichwort {Reihen} {} und die $u_i$ nennt man die Reihenglieder. Wir betonen, dass sich alle Folgeneigenschaften auf die Folgenglieder beziehen. Man schreibt für solche Reihen auch kurz
\mathl{\sum_{n = 0}^\infty u_n}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Oresme-Nicole.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Nikolaus von Oresme (1330-1382) bewies, dass die harmonische Reihe divergiert.} }
\bildlizenz { Oresme-Nicole.jpg } {} {Leinad-Z} {Commons} {PD} {}
Die sogenannte \stichwort {harmonische Reihe} {} ist nicht beschränkt und konvergiert nicht.
\inputbeispiel{}
{
Die \definitionswort {harmonische Reihe}{} ist die Reihe
\mathdisp {\sum^\infty_{k = 1} { \frac{ 1 }{ k } }} { . }
Es geht also um die \anfuehrung{unendliche Summe}{} der Stammbrüche
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } + { \frac{ 1 }{ 6 } } + { \frac{ 1 }{ 7 } } + { \frac{ 1 }{ 8 } } + \ldots} { . }
Diese Reihe divergiert: Für die $2^{n}$ Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 2^n +1 , \ldots , 2^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k}
}
{ \geq} { \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{2^{n+1} }
}
{ =} { 2^n \frac{1}{2^{n+1} }
}
{ =} { \frac{1}{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k}
}
{ =} {1+ \sum_{i = 0}^n \left( \sum_{k = 2^{i} +1 }^{ 2^{i+1} } \frac{1}{k} \right)}
{ } {
}
{ \geq} {1 + (n+1) \frac{1}{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist die Folge der Partialsummen
\definitionsverweis {unbeschränkt}{}{}
und kann nach
Lemma 44.7
nicht
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
sein.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Harmonischebrueckerp.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Aus der Divergenz der harmonischen Reihe folgt, dass man einen beliebig weiten Überhang mit gleichförmigen Bauklötzen bauen kann.} }
\bildlizenz { Harmonischebrueckerp.jpg } {} {Anton} {de Wikipedia} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputfaktbeweis
{Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n+y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} cx_n
}
{ =} { c { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ 1 }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mathl{{ \left( { \frac{ y_n }{ x_n } } \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ y_n }{ x_n } }
}
{ =} { { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Die konvergente Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} ist nach
Lemma 44.7
insbesondere
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
und daher existiert ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \leq }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Sei
\mathkor {} {x \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} x_n} {und} {y \defeq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \defeq }{\max \{D, \betrag { y } \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen
\mathkor {} {N_1} {und} {N_2} {}
mit
\mathdisp {\betrag { x_n -x } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_1 \text{ und } \betrag { y_n -y } \leq \frac{\epsilon}{2C} \text{ für } n \geq N_2} { . }
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max\{N_1,N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese Zahlen gilt daher
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_ny_n -xy }
}
{ =} { \betrag { x_ny_n-x_ny+x_n y-xy }
}
{ \leq} {\betrag { x_ny_n-x_ny } + \betrag { x_ny-xy }
}
{ =} { \betrag { x_n } \betrag { y_n-y } + \betrag { y } \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {C \frac{ \epsilon}{2C} + C \frac{ \epsilon}{2C}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Da der Limes der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} nicht $0$ ist, gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ \geq }{ { \frac{ \betrag { x } }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{ \betrag { x_n } }
}
{ \leq} { \frac{2}{ \betrag { x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gibt es ein $N_2$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \frac{\epsilon \betrag { x }^2}{2} \text { für alle } n \geq N_2} { . }
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ \defeq }{ \max \{N_1, N_2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x} }
}
{ =} { \betrag { \frac{x_n-x}{x x_n} }
}
{ =} { \frac{1}{\betrag { x } \betrag { x_n }} \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} { \frac{2}{\betrag { x }^2} \cdot \frac{ \epsilon \betrag { x }^2}{2}
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}{}{.}}
{}
Die im vorstehenden Satz auftretenden Folgen nennt man die Summenfolge, die Produktfolge bzw. die Quotientenfolge. Sie sind jeweils gliedweise definiert.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \leq }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei einer Folge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ a_r n^r + a_{r-1} n^{r-1} + \cdots + a_2n^2 + a_1n+a_0 }{ b_s n^s + b_{s-1} n^{s-1} + \cdots + b_2n^2 + b_1n+b_0 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_i,b_j}{} in einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_r,b_s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit $n^{-s}$ und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_n
}
{ =} { { \frac{ \,\, \, { \frac{ a_r n^r + a_{r-1} n^{r-1} + \cdots + a_2n^2 + a_1n+a_0 }{ n^s } } \,\, \, }{ \,\, \,{ \frac{ b_s n^s + b_{s-1} n^{s-1} + \cdots + b_2n^2 + b_1n+b_0 }{ n^s } } \,\, \, } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, \, { \frac{ a_r n^r }{ n^s } } + { \frac{ a_{r-1} n^{r-1} }{ n^s } } + \cdots +{ \frac{ a_2n^2 }{ n^s } } + { \frac{ a_1n }{ n^s } } + { \frac{ a_0 }{ n^s } } \,\, \, }{ \,\, \, { \frac{ b_s n^s }{ n^s } } + { \frac{ b_{s-1} n^{s-1} }{ n^s } } + \cdots + { \frac{ b_2n^2 }{ n^s } } + { \frac{ b_1n }{ n^s } } + { \frac{ b_0 }{ n^s } } \,\, \, } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, \, { \frac{ a_r }{ n^{s-r } } } + { \frac{ a_{r-1} }{ n^{s-r-1} } } + \cdots +{ \frac{ a_2 }{ n^{s-2} } } + { \frac{ a_1 }{ n^{s-1} } } + { \frac{ a_0 }{ n^s } } \,\, \, }{ \,\, \, b_s + { \frac{ b_{s-1} }{ n } } + \cdots + { \frac{ b_2 }{ n^{s-2} } } + { \frac{ b_1 }{ n^{s-1} } } + { \frac{ b_0 }{ n^s } } \,\, \, } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach
Lemma 44.11 (1)
konvergiert der Nenner gegen $b_s$. da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ > }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen $0$ und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen $a_r$. Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben
\mathl{{ \frac{ a_r }{ b_r } }}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Zu jedem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{}
$K$ gibt es
nach Korollar 28.10
eine eindeutig bestimmte
\definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{,}
die gegen $x$ konvergiert. Zu zwei Elementen $x$ und $y$ muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe
\mathl{x+y}{} nicht die
\zusatzklammer {gliedweise genommene} {} {}
Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${ \frac{ 7 }{ 9 } }$ gleich
\mathdisp {{ \frac{ 7 }{ 10 } } ,\, { \frac{ 77 }{ 100 } } ,\, { \frac{ 777 }{ 1000 } } ,\, { \frac{ 7777 }{ 10000 } } ,\, { \frac{ 77777 }{ 100000 } } ,\, \ldots} { }
und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl ${ \frac{ 8 }{ 9 } }$ gleich
\mathdisp {{ \frac{ 8 }{ 10 } } ,\, { \frac{ 88 }{ 100 } } ,\, { \frac{ 888 }{ 1000 } } ,\, { \frac{ 8888 }{ 10000 } } ,\, { \frac{ 88888 }{ 100000 } } ,\, \ldots} { . }
Die Summe dieser beiden Folgen ist
\mathdisp {{ \frac{ 15 }{ 10 } } ,\, { \frac{ 165 }{ 100 } } ,\, { \frac{ 1665 }{ 1000 } } ,\, { \frac{ 16665 }{ 10000 } } ,\, { \frac{ 166665 }{ 100000 } } ,\, \ldots} { . }
Dagegen besitzt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 9 } } + { \frac{ 8 }{ 9 } }
}
{ =} { { \frac{ 15 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Dezimalbruchfolge
\mathdisp {{ \frac{ 16 }{ 10 } } ,\, { \frac{ 166 }{ 100 } } ,\, { \frac{ 1666 }{ 1000 } } ,\, { \frac{ 16666 }{ 10000 } } ,\, { \frac{ 1666666 }{ 100000 } } ,\, \ldots} { . }
Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen
\mathl{{ \frac{ 15 }{ 9 } }}{,} sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.
}
{Angeordneter Körper/Zwei konvergente Folgen/Vergleich/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq} { \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 44.7. }
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Quetschkriterium} {.}
{Angeordneter Körper/Folgen/Quetschkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
drei
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in $K$.}
\faktvoraussetzung {Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N} { }
und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergieren}{}{}
beide gegen den gleichen Grenzwert $a$.}
\faktfolgerung {Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 44.9. }
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