Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 32/latex

\setcounter{section}{32}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} -4 x +6 y & = & 0 \\ 5 x +8 y & = & 0 \, \end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot x + { \frac{ 6 }{ 5 } } \cdot y+ { \frac{ 9 }{ 10 } } \cdot z+ { \frac{ 3 }{ 5 } } \cdot w }
{ =} { 10 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3 \cdot x + 5 \cdot y+ 2 \cdot z+ 4 \cdot w }
{ =} { 30 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 31.4.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gibt es eine Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c) }
{ \in }{ \Q^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 11\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\2\\ 12\\3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 20\\7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 20\\5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 31.6?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür $1,30$ \euro . Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür $1,60$ \euro . Mustafa kauft einen Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür einen \euro . Heinz kauft zwei Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und eine saure Zunge und zahlt dafür $1,70$ \euro . Wie viel kostet ein Schokoriegel, eine Packung Brausepulver, eine saure Zunge?

Benötigt man die volle Information, um dies herauszufinden?

Es sei der Einkauf von Gabi und von Lucy bekannt, ferner sei bekannt, dass Lucys kleine Schwester Veronika für drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen einen Euro zahlt. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In einer Familie leben
\mathl{M,P,S}{} und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie \mathkor {} {S} {und} {T} {} zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & +4 w & = & 4 \\ 2 x & +2 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 0 \\ 4 x & +6 y & \, \, \, \, \, \, \, \, & + w & = & 2 \\ x & +3 y & +5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x & +2 y & +3 z & +4 w & = & 1 \\ 2 x & +3 y & +4 z & +5 w & = & 7 \\ x & \, \, \, \, \, \, \, \, & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x & +5 y & +5 z & + w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {linearen Gleichungssystem}{}{} über $\Q$ ein dazu \definitionsverweis {äquivalentes}{}{} Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {linearen Gleichungssystem}{}{} über $\Q$ ein dazu \definitionsverweis {äquivalentes}{}{} Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass darin der Betrag aller Koeffizienten kleiner als $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x+2y }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$ unendlich viele Lösungen besitzt, aber keine ganzzahlige Lösung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche ganzzahligen Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x+7y }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein \definitionsverweis {homogenes lineares Gleichungssystem}{}{} über $\Q$ gegeben, das eine nichttriviale Lösung besitze. Zeige, dass es auch eine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x -7 y -4 z & = & 0 \\ 2 x + y -3 z & = & 0 \\ 7 x +6 y -2 z & = & 0 \, \end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bringe das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-4+5y }
{ =} {8z+7x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2-4x+z }
{ =} { 2y+3x+6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z-3x +2x +3 }
{ =} { 5x-11y+2z-8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} in Standardgestalt und löse es.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} 4 x +7 y +3 z & = & 4 \\ 11 x +9 y +13 z & = & 9 \\ 6 x +8 y +5 z & = & 2 \, \end{matrix}} { }
mit dem \definitionsverweis {Einsetzungsverfahren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x \, \, \, \, - y +7 z & = & 6 \\ 3 x +6 y +3 z & = & -2 \\ 8 x +8 y +7 z & = & 3 \, \end{matrix}} { }
mit dem \definitionsverweis {Einsetzungsverfahren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x +6 y +2 z & = & 6 \\ 4 x +8 y +9 z & = & 5 \\ 11 x +5 y +7 z & = & 8 \, \end{matrix}} { }
mit dem \definitionsverweis {Gleichsetzungsverfahren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ der in Beispiel 11.4 eingeführte \definitionsverweis {Körper}{}{} mit zwei Elementen. Löse in $K$ das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}

In den folgenden vier Aufgaben geht es im Sinne von Bemerkung 32.9 insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.


\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} & +7 y & +3 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 4 \\ x & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & +4 w & = & 9 \\ & -3 y & -5 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ -2 x & \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, & +3 w & = & 3 \, \end{matrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7y }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z }
{ =} {8 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2u-3v }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x-3y+2z-11u-v+5w }
{ =} {17 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4u-5v }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z }
{ =} {-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z }
{ =} {9 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {-2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-67y+14z-123u-51w }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8x-11y+12z-27u-65w }
{ =} {51 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{66x-67y-77z-u+100w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8x-11y+12z-27u-65w }
{ =} {-15 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-301x+44y+33z-31u-18w }
{ =} {571 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x }
{ \geq} {7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x }
{ \leq} { 12 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x }
{ \geq} {3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x }
{ \leq} { 11 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x & + y & \, \, \, \, - z & \, \, \, \, - w & = & 1 \\ 2 x & +5 y & -7 z & -5 w & = & -2 \\ 2 x & \, \, \, \, - y & + z & +3 w & = & 4 \\ 5 x & +2 y & -4 z & +2 w & = & 6 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen
\mathl{x_1,x_2 , \ldots , x_{10}}{,} das durch die beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 +x_2+x_3 +x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9 +x_{10} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 -x_2+x_3 - x_4+x_5-x_6+x_7-x_8+x_9- x_{10} }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} 8 x +7 y +6 z & = & 0 \\ 12 x -9 y -5 z & = & 0 \\ 7 x +6 y -11 z & = & 0 \, \end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} 5 x \, \, \, \, - y +7 z & = & 6 \\ 3 x +6 y +3 z & = & -2 \\ 8 x +8 y +7 z & = & 3 \, \end{matrix}} { }
mit dem \definitionsverweis {Einsetzungsverfahren}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{cx+dy }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad-bc }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}