Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 33



Die Pausenaufgabe

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.




Übungsaufgaben

Bestimme die (ungefähren) Koordinaten des skizzierten Punktes (eine Kästchenlänge repräsentiere eine Einheit).



Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene .



Es sei ein Punkt in der Ebene gegeben. Skizziere die Punkte



Es sei ein Punkt in der Ebene gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte



Markiere zwei Punkte und in der kartesischen Ebene und addiere sie.



Zeige, dass der Zahlenraum zu einem Körper mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften

  1. ,
  2. ,
  3. ,

erfüllt.



Im Rahmen einer Werbeaktion verkauft ein Baumarkt Schraubensets, die jeweils große, mittlere und kleine Schrauben enthalten. Set enthält große, mittlere und kleine Schrauben, Set enthält große, mittlere und kleine Schrauben, Set enthält große, mittlere und kleine Schrauben. Da das Angebot sehr günstig ist, läuft der Verkauf hervorragend. Allerdings gibt es kaum jemand, der genau eines der vorgebenen Sets brauchen kann, daher entwickelt sich auf dem Parkplatz eine rege Tauschbörse für Schrauben. Lässt sich jeder Schraubenwunsch mit den gegebenen Sets exakt erfüllen?



Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.



Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.



Es sei ein Körper und der -dimensionale Zahlenraum. Es sei , , eine Familie von Vektoren im und ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

ein Erzeugendensystem von ist und dass sich als Linearkombination der , , darstellen lässt. Zeige, dass dann schon , , ein Erzeugendensystem von ist.



Zeige, dass im die drei Vektoren

eine Basis bilden.



Bestimme, ob im die drei Vektoren

eine Basis bilden.



Es sei ein Körper und seien . Zeige, dass der Matrizenraum in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.



Berechne das Matrizenprodukt



Berechne das Matrizenprodukt



Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.



Bestimme das Matrizenprodukt

wobei links der -te Standardvektor (der Länge ) als Zeilenvektor und rechts der -te Standardvektor (ebenfalls der Länge ) als Spaltenvektor aufgefasst wird.



Es sei eine -Matrix. Zeige, dass das Matrizenprodukt mit dem -ten Standardvektor (als Spaltenvektor aufgefasst) die -te Spalte von ergibt. Was ist , wobei der -te Standardvektor (als Zeilenvektor aufgefasst) ist?


Zu einer quadratischen Matrix bezeichnet man mit die -fache Verknüpfung (Matrizenmultiplikation) mit sich selbst. Man spricht dann auch von -ten Potenzen der Matrix.


Berechne zur Matrix

die Potenzen



Es sei

eine Diagonalmatrix und eine -Matrix. Beschreibe und .



Es sei

eine Diagonalmatrix und ein -Tupel über einem Körper , und es sei ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem

und wie löst man es?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.



Aufgabe (3 Punkte)

Finde für die Vektoren

im eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.



Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über einem Körper . Zeige, dass die vierte Potenz von gleich ist, also


Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ ist. Genauer: Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix über . Zeige, dass ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei . Finde und beweise eine Formel für die -te Potenz der Matrix



Aufgabe (2 Punkte)

Finde neben den beiden Matrizen und vier weitere Matrizen mit der Eigenschaft .



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