Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 34
- Die Pausenaufgabe
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung
- Übungsaufgaben
Zeige, dass ein Körper , aufgefasst als Vektorraum, nur zwei Untervektorräume besitzt, nämlich den Nullraum und sich selbst.
Bestimme, ob die folgenden Teilmengen Untervektorräume sind.
- ,
- ,
- Der Graph der linearen Funktion ,
- Das Quadrat ,
- ,
- Die Vereinigung aus der -Achse und der -Achse (das Achsenkreuz),
- ,
- Die Lösungsmenge zur linearen Gleichung .
Beschreibe sämtliche Untervektorräume des .
Zu je zwei Punkten in der Produktmenge gibt es eine Verbindungsgerade und einen Mittelpunkt, der die Verbindungsstrecke halbiert.
- Man gebe zu zwei Punkten und die Koordinaten des Mittelpunktes an.
- Es seien in der Produktmenge fünf Punkte gegeben (jeder Punkt habe also ganzzahlige Koordinaten). Zeige, dass mindestens einer der Mittelpunkte ganzzahlige Koordinaten haben muss.
- Gilt die Eigenschaft aus (2) auch bei vier Punkten?
Zeige, dass ein Untervektorraum insbesondere eine Untergruppe des ist.
Es sei ein Körper und
ein homogenes lineares Gleichungssystem über . Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung
Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
Im seien zwei Vektoren gegeben und es sei der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum. Zeige, dass die Vektoren genau dann eine Basis von bilden, wenn weder ein Vielfaches von noch ein Vielfaches von ist.
Es seien Untervektorräume. Zeige, dass der Durchschnitt ebenfalls ein Untervektorraum ist.
Es sei
und
- Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems .
- Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.
Es seien im zwei Geraden und in Gleichungsform durch
bzw.
gegeben. Zeige, dass der Durchschnitt der beiden Geraden die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ist, das aus beiden Gleichungen besteht. Zeige ferner, dass es hierbei die drei Möglichkeiten gibt:
- Es ist .
- Es ist .
- Der Durchschnitt besteht aus einem einzigen Punkt.
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
- Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.
Es seien Geraden in der Ebene gegeben. Formuliere und beweise eine Formel (in Abhängigkeit von ) für die maximale Anzahl von Schnittpunkten der Geraden.
Im seien die beiden Untervektorräume
und
gegeben. Bestimme eine Basis für .
Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
Bestimme sämtliche Punkte .
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte
liegen.
Erstelle ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsraum die Gerade ist.
Es sei ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
ist.
Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen
gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Es sei
und
- Bestimme eine Basis des Lösungsraums des linearen Gleichungssystems .
- Beschreibe die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems mit einem Aufpunkt und mit der Basis aus dem ersten Teil.
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte im die beiden Ebenen
Bestimme die Schnittgerade .
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im , auf der die drei Punkte
liegen.
Aufgabe (4 (2+2) Punkte)
Ein lineares Ungleichungssystem sei durch die Ungleichungen
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
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