Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex

\setcounter{section}{44}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die beide gegen $c \in K$ \definitionsverweis {konvergieren}{}{} mögen. Zeige, dass die Differenzfolge
\mathl{x_n-y_n}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{5}$ zum Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Konvergiert diese Folge in $\Q$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{c \in \Q_+}{,} $x_0 \in \Q_+$ und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die zugehörige \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{c}$. Wann konvergiert diese Folge in $\Q$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 2 }{ 3n+5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 1 }{ 10000 } } , \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} ab welchem \zusatzklammer {minimalen} {} {} $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 4n-3 }{ 5n-2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 1 }{ 10000 } } , \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} ab welchem \zusatzklammer {minimalen} {} {} $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n - { \frac{ 4 }{ 5 } } } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( { \frac{ 1 }{ n^k } } \right) }_{ n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei einer \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die \definitionsverweis {Konvergenz}{}{} noch den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} ändert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei die rationale Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} folgendermaßen definiert: Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ a_n }{ 10^n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die größte Zahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n^2 }
{ \leq }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge eine \definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} {- x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{ K_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} { { \left( x_n \right) }^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x \in K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ \defeq} { x_n -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Folge eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist.

}
{} {}

In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.11 bewiesen.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mathl{{ \left( x_n + y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n+ y_n \right) } }
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } + { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$. Es sei
\mathl{c \in K}{.} Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( c \cdot x_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( c \cdot x_n \right) } }
{ =} { c \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in $K$. Es sei
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{} und
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n} }
{ =} { \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{x} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} {\frac{6n^3+3n^2-4n+5}{7n^3-6n^2-2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} zwei \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \geq }{ y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n }
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{[a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {abgeschlossenes Intervall}{}{} in $K$. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $K$ mit
\mathl{x_n \in I}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Die Folge \definitionsverweis {konvergiere}{}{} gegen $x \in K$. Zeige
\mathl{x\in I}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {Folgen}{}{} in $K$. Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen diesen Grenzwert $a$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in keinem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Kann sie \definitionsverweis {beschränkt}{}{} sein?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }} { }
gegebene Folge \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} { { \left( 1- { \frac{ 1 }{ n^2 } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 13.29 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} in dem die Wurzeln
\mathl{\sqrt[n]{n}}{} zu
\mathl{n \in \N_+}{} existieren. Zeige, dass die Folge
\mathl{x_n = \sqrt[n]{n}}{} ab
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} streng fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ a_n }{ b_n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Q$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe Beispiele für positive monoton wachsende unbeschränkte \definitionsverweis {Folgen}{}{} \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} in einem angeordneten Körper $K$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert, }{gegen $1$ konvergiert, }{divergiert.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { \sum_{k = 1 }^n { \frac{ 1 }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Finde das kleinste $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Finde das kleinste $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \geq} {2{,}5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien $a,b \in K_+$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ak+b}} { }
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ \sqrt{k} }} { }
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige analog zu Beispiel 44.13, dass das \zusatzklammer {gliedweise} {} {} Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass $K$ genau dann \definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Folge}{}{} der \definitionsverweis {Stammbrüche}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } },\, n \geq 1}{,} gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Die Quadratfolgen
\mathl{x_n^2}{} und
\mathl{y_n^2}{} seien konvergent und es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$. Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 7n^3-3n^2+2n-11 }{ 13n^3-5n+4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierten \definitionsverweis {Folge}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ mit
\mathbed {x_n \neq 0} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} und mit $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=0$ derart, dass die Folge
\mathdisp {{ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }} { }
\aufzaehlungdrei{gegen $0$ konvergiert, }{gegen $1$ konvergiert, }{divergiert.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} und es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$ mit \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$. Zeige, dass dann auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n }
{ \defeq} { \frac{ x_0 + x_1 + \cdots + x_n }{n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Folge gegen $x$ konvergiert.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 44.31 hilfreich.


\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{c \in K_+}{.} Es seien
\mathl{x_0,y_0 \in K_+}{} Startwerte und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {bzw.} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Heron-Folgen}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{c}$. Zeige, dass
\mathl{x_n-y_n}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n^3}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty \frac{1}{2k+1} \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty \frac{1}{2k+2}} { }
\definitionsverweis {divergieren}{}{.}

}
{} {}