Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorlesung 44
- Beispiele für Folgen
Eine Folge in einem angeordneten Körper, die gegen konvergiert, heißt Nullfolge.
Eine konstante Folge ist stets konvergent mit dem Grenzwert . Dies folgt direkt daraus, dass man für jedes als Aufwandszahl nehmen kann. Es ist ja
für alle .
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Dann ist die Folge
konvergent mit dem Grenzwert . Es sei dazu ein beliebiges , , vorgegeben. Aufgrund des Archimedes Axioms (siehe Lemma 25.8) gibt es ein mit
Damit gilt für alle die Abschätzung
Wir betrachten die Folge mit den Folgengliedern
in . Die Anfangsglieder sind
In der Tat ist dies eine Nullfolge. Nach Satz 27.12 gibt es nämlich ein derart, dass
für alle gilt. Für diese ist somit
Zu einem vorgegebenen kann man zusätzlich noch erreichen, daher ist dies kleinergleich .
Eine Dezimalbruchfolge in einem angeordneten Körper ist eine Folge der Form
mit (bzw. mit Ziffern ) und mit
Eine solche Folge, also eine „Kommazahl“, muss im Allgemeinen nicht konvergieren. Wenn wir mit zwei positiven ganzen Zahlen starten und den Divisionsalgorithmus durchführen, um die Ziffern zu erhalten, so konvergiert nach Korollar 28.11 die zugehörige Dezimalbruchfolge
gegen die rationale Zahl .
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in .
Dann besitzt maximal einen Grenzwert.
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte , , gibt. Dann ist . Wir betrachten . Wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit
und wegen der Konvergenz gegen gibt es ein mit
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für . Es sei mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der Dreiecksungleichung der Widerspruch
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Die Folge heißt beschränkt, wenn es ein Element mit
gibt.
- Rechenregeln für Folgen
Es sei ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.
Es sei die konvergente Folge mit dem Limes und es sei ein gewählt. Aufgrund der Konvergenz gibt es ein derart, dass
Dann ist insbesondere
Unterhalb von gibt es nur endlich viele Zahlen, sodass das Maximum
wohldefiniert ist. Daher ist eine obere Schranke und eine untere Schranke für .
Es sei ein angeordneter Körper. Dann ist die alternierende Folge
beschränkt, aber nicht konvergent. Die Beschränktheit ist klar, da ja nur die beiden Werte und vorkommen. Konvergenz liegt aber nicht vor. Nehmen wir an, dass der Grenzwert sei. Dann gilt für positives und jedes ungerade die Beziehung
sodass es Folgenwerte außerhalb dieser -Umgebung gibt. Analog kann man einen negativ angenommen Grenzwert zum Widerspruch führen.
Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Nullfolge und eine beschränkte Folge in .
Dann ist auch das Produkt der beiden Folgen eine Nullfolge.
Es sei eine Schranke für und sei vorgegeben. Da eine Nullfolge ist, gibt es zu ein derart, dass für die Abschätzung gilt. Für diese Indizes ist dann auch
Wie bei einer Dezimalbruchfolge, die man ja
(mit den Ziffern )
als
schreiben kann, wird eine Folge oft als eine Summe in der Form
gegeben. Die Folgenglieder sind also die Teilsummen, die sich aus den einzelnen Summanden ergeben. Solche Folgen nennt man auch Reihen und die nennt man die Reihenglieder. Wir betonen, dass sich alle Folgeneigenschaften auf die Folgenglieder beziehen. Man schreibt für solche Reihen auch kurz .
Die sogenannte harmonische Reihe ist nicht beschränkt und konvergiert nicht.
Die harmonische Reihe ist die Reihe
Diese Reihe divergiert: Für die Zahlen ist
Daher ist
Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 44.8 nicht konvergent sein.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Folge ist konvergent und es gilt
- Die Folge ist konvergent und es gilt
- Für
gilt
- Es sei
und
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
- Es sei
und
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
(2). Sei vorgegeben. Die konvergente Folge ist nach Lemma 44.8 insbesondere beschränkt und daher existiert ein mit für alle . Sei und . Wir setzen . Aufgrund der Konvergenz gibt es natürliche Zahlen und mit
Diese Abschätzungen gelten dann auch für alle . Für diese Zahlen gilt daher
(4). Da der Limes der Folge nicht ist, gilt für die Bedingung und damit
Es sei vorgegeben. Wegen der Konvergenz von gibt es ein mit
Dann gilt für alle die Abschätzung
Die im vorstehenden Satz auftretenden Folgen nennt man die Summenfolge, die Produktfolge bzw. die Quotientenfolge. Sie sind jeweils gliedweise definiert.
Es sei . Bei einer Folge der Form
mit in einem archimedisch angeordneten Körper und kann man durch einen einfachen Standardtrick den Grenzwert bestimmen. Man multipliziert Zähler und Nenner mit und erhält somit die auf den ersten Blick kompliziertere Darstellung
Nach Lemma 44.12 (1) konvergiert der Nenner gegen . da die Summanden bis auf den ersten Summanden Nullfolgen sind. Der Zähler konvergiert bei gegen und bei gegen . Im ersten Fall liegt insgesamt eine Nullfolge vor, im zweiten Fall konvergiert die Folge geben .
Zu jedem Element in einem archimedisch angeordneten Körper gibt es nach Korollar 28.10 eine eindeutig bestimmte Dezimalbruchfolge, die gegen konvergiert. Zu zwei Elementen und muss dabei die Dezimalbruchfolge der Summe nicht die (gliedweise genommene) Summe der einzelnen Dezimalbruchfolgen sein. Beispielsweise ist die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl gleich
und die Dezimalbruchfolge zur rationalen Zahl gleich
Die Summe dieser beiden Folgen ist
Dagegen besitzt
die Dezimalbruchfolge
Die oben angegebene Summenfolge konvergiert zwar gegen , sie ist aber keine Dezimalbruchfolge.
Die folgende Aussage heißt Quetschkriterium.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte
und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert .
Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
Beweis
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