Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex

\setcounter{section}{48}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jede \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $K$ einen Punkt enthält. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
\mathdisp {3,601473301 ...} { . }
Beschreibe die zugehörige \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} mit Intervallen der Länge
\mathl{10,1, { \frac{ 1 }{ 10 } }, { \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, { \frac{ 1 }{ 100000 } }}{} und entsprechenden Grenzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n }
{ = }{[a_n,b_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n }
{ = }{[c_n,d_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x+y}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten Intervalle
\mathbed {I_n} {}
{n=1,2,3,4,5} {}
{} {} {} {,} in der \definitionsverweis {Intervallhalbierung}{}{} zu $\sqrt[3]{20}$, ausgehend von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_0 }
{ = }{ [0,10] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten Intervalle
\mathbed {I_n} {}
{n=1,2,3,4,5} {}
{} {} {} {,} in der \definitionsverweis {Intervallhalbierung}{}{} zu $\sqrt[7]{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }$, ausgehend von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_0 }
{ = }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Was besagt das Ergebnis für die Ziffernentwicklung von $\sqrt[7]{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }$ im Zweiersystem?

}
{} {}

Im jetzigen Kontext betrachte man auch nochmal Aufgabe 28.37, Aufgabe 28.38, Aufgabe 28.39.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n }
{ =} {[a_n,b_n] }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_{n+1} }
{ \subseteq }{I_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $n$, wobei $a_n$ streng wachsend und $b_n$ streng fallend ist, wo aber keine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n }
{ =} {[a_n,b_n] }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} vorliegt.

}
{} {}

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Eine Teilmenge
\mathl{T \subseteq K}{} heißt ein \definitionswort {Abschnitt}{,} wenn für alle
\mathl{a,b \in T}{} mit
\mathl{a \leq b}{} und jedes
\mathl{x \in K}{} mit
\mathl{a \leq x \leq b}{} auch
\mathl{x \in T}{} ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass jedes \definitionsverweis {Intervall}{}{} \zusatzklammer {einschließlich der unbeschränkten Intervalle} {} {} in $K$ ein \definitionsverweis {Abschnitt}{}{} ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in $\Q$, der kein Intervall ist.

Zeige, dass in $\R$ jeder Abschnitt ein Intervall ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei $M$ die Menge aller \definitionsverweis {Intervallschachtelungen}{}{} auf $K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen \mathkor {} {I_n,\, n \in \N,} {und} {J_n,\, n \in \N,} {} zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J_n }
{ \subseteq }{ I_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_k }
{ \subseteq }{ J_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $M$ ist. }{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren. }{Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Inwiefern definiert eine rationale Zahl einen \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitt}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Inwiefern definiert eine reelle Zahl einen \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitt}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines \definitionsverweis {Dedekindschen Schnittes}{}{} vorkommen, ein Beispiel für ein Paar $(A,B)$ mit
\mathl{A,B \subseteq \Q}{,} das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf $\Q$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf $\Q$ übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt $\neq 0$ einen inversen Schnitt besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Definiere auf der Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} eine \definitionsverweis {totale Ordnung}{}{,} die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf $\Q$ übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Dedekindschen Schnitte}{}{} ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jeder \definitionsverweis {Dedekindsche Schnitt}{}{} in $K$ ein Punktschnitt ist. Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es seien $r,s$ nichtnegative reelle Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r^n }
{ <} {s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( r+ { \frac{ 1 }{ k } } \right) }^n }
{ <} {s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \sqrt{n} \cdot \sqrt{n+1}-n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr \definitionsverweis {geometrisches Mittel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{b > a > 0}{} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} durch
\mathl{x_0= a}{,}
\mathl{y_0= b}{} und durch
\mathdisp {x_{n+1} = \text{ geometrisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { , }

\mathdisp {y_{n+1} = \text{ arithmetisches Mittel von } x_n \text{ und } y_n} { . }
Zeige, dass
\mathl{[x_n,y_n]}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} { b^{ { \frac{ 1 }{ n } } } }
{ =} { \sqrt[n]{b} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mathl{n \in \N_+}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Folge monoton fallend ist. }{Zeige, dass sämtliche Folgenglieder $\geq 1$ sind. }{Zeige, dass die Folge gegen $1$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1000 } }}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k } \cdot { \frac{ 1 }{ n^k } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ \leq} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Für die Eulersche Zahl $e$ seien die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2,71 }
{ \leq} {e }
{ \leq} {2,72 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bekannt. \aufzaehlungzwei {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^2$ sagen? } {Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von $e^{-1}$ sagen? }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne
\mathdisp {-7, 35831149 ...} { . }
Beschreibe die zugehörige \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} mit Intervallen der Länge
\mathl{10,1, { \frac{ 1 }{ 10 } }, { \frac{ 1 }{ 100 } }, { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, { \frac{ 1 }{ 100000 } }}{} und entsprechenden Grenzen.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass sich alles in $\R_+$ abspielt.


\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_n }
{ = }{[a_n,b_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} für $x$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J_n }
{ = }{[c_n,d_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Intervallschachtelung für $y$. Beschreibe eine Intervallschachtelung für
\mathl{x \cdot y}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {2,1278 \ldots} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}101001000100001000001 \ldots} { }
im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von $1/x$ bis zur vierten Nachkommastelle.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die Ziffernentwicklung von
\mathdisp {0{,}\overline{1} \cdot 0{,}\overline{1}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ =} { \sqrt{n+1} - \sqrt{n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \sum_{k = 0}^n { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Glieder bis
\mathl{x_5}{} als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10000 } }}{} an.

}
{} {}