Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 49
- Die Pausenaufgabe
- Übungsaufgaben
Bestimme für das Polynom
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .
Es ist heiß. Lucy Sonnenschein möchte einen würfelförmigen Pool mit Seitenlänge voll mit Wasser haben. Der Kubikmeter Wasser kostet Euro, der Quadratmeter Kacheln für Wände und Boden kostet Euro, der Überlaufrand kostet Euro pro Meter und die Baugenehmigung kostet Euro. Erstelle eine Kostenfunktion für den Pool in Abhängigkeit von der gewählten Seitenlänge.
Beweise die Formel
Zeige, dass in einem Polynomring über einem Körper gilt: Wenn beide ungleich sind, so ist auch .
Es sei ein angeordneter Körper und der Polynomring über . Sei
Zeige, dass die drei folgenden Eigenschaften besitzt
- Entweder ist oder oder .
- Aus folgt .
- Aus folgt .
Zeige, dass eine quadratische Gleichung
über einem Körper maximal zwei Lösungen besitzt.
Löse die quadratische Gleichung über .
Löse die quadratische Gleichung über .
Löse die reelle quadratische Gleichung durch quadratisches Ergänzen.
Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt Euro, ein Meter Hecke kostet Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?
Bestimme den minimalen Wert der reellen Funktion
Eine Gleichung der Form
heißt biquadratische Gleichung.
Löse die biquadratische Gleichung über .
Bestimme die Lösungen der Gleichung
über .
Eliminiere im kubischen Polynom
den quadratischen Term, d.h. schreibe dieses Polynom als
mit geeigneten .
Forme die Gleichung
in eine äquivalente Gleichung der Form
mit um.
Forme die Gleichung
in eine äquivalente Gleichung der Form
mit um.
Es sei
eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.
Bei den folgenden Aufgaben überlege man sich auch, was die Äquivalenzrelationen für die Graphen der Funktionen bedeuten.
Es sei ein Körper und sei
die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch , falls es ein mit
gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
Es sei ein Körper und sei
die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch , falls es ein mit
für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
Es sei ein Körper und sei
die Menge der Abbildungen von nach . Wir betrachten die Relation auf , die durch , falls es ein mit
für alle gibt. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.
Wir betrachten auf der Menge der quadratischen Polynome über dem Körper die Äquivalenzrelation aus Aufgabe 49.23. Finde für jedes quadratische Polynom einen besonders einfachen Repräsentanten.
Beweise die Umkehrung des Satzes von Vieta: Wenn eine normierte quadratische Gleichung
gegeben ist und wenn Zahlen sind mit
und
so sind und die Lösungen der Gleichung.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Aufgabe (2 Punkte)
Löse die reelle quadratische Gleichung durch quadratisches Ergänzen.
Aufgabe (1 Punkt)
Löse die quadratische Gleichung über .
Aufgabe (3 Punkte)
Forme die Gleichung
in eine äquivalente Gleichung der Form
mit um.
Aufgabe (1 Punkt)
Aufgabe (8 Punkte)
Zwei Personen und spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich ein Polynom aus, wobei alle Koeffizienten aus sein müssen. Person darf fragen, was der Wert zu gewissen natürlichen Zahlen ist. Dabei darf diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.
Entwickle eine Fragestrategie für , die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen (unabhängig vom Polynom) beschränkt ist.
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