Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 50



Die Pausenaufgabe

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?




Übungsaufgaben

Setze in das Polynom die Zahl ein.


Setze in das Polynom die Zahl ein.


Schreibe das Polynom

in der neuen Variablen .


  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus


Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .


Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Bestimme die Hintereinanderschaltungen und für die Abbildungen , die durch

definiert sind.


Zeige, dass die Hintereinanderschaltung (also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres) von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.


Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine Polynomfunktion. Es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige durch Induktion über , dass dann auch die durch

definierte Folge konvergiert, und zwar gegen .


a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?


Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Führe in folgende Polynomdivision aus.


Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Es sei eine Körpererweiterung und seien Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest durch “ unerheblich ist, ob man sie in oder in durchführt.


Vergleiche die Division mit Rest in und in ( ein Körper).


Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Es sei

ein normiertes Polynom über einem Körper . Es seien drei (verschiedene) Zahlen aus . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von sind, wenn sie das Gleichungssystem

erfüllen.


Bestimme die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome

und


Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung

mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.


Es sei ein Körper und sei der Polynomring über und sei ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ein Teiler von . Zeige, dass ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors in durch seine Vielfachheit in beschränkt ist.


Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


  1. Bestimme ein Polynom vom Grad mit

    und

  2. Bestimme ein normiertes Polynom vom Grad mit

    und

  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu .


Es sei der Polynomring über einem Körper . Zeige, dass die Menge

wobei zwei Brüche und genau dann als gleich gelten, wenn ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.


Den in der vorstehenden Aufgabe eingeführten Körper nennt man den Körper der rationalen Funktionen.

Es sei ein angeordneter Körper, der Polynomring und

der Körper der rationalen Funktionen über . Zeige unter Verwendung von Aufgabe 49.8, dass man zu einem angeordneten Körper machen kann, der nicht archimedisch angeordnet ist.


Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.


Berechne die Hintereinanderschaltungen und der beiden rationalen Funktionen


Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und seien und Polynome mit . Man bestimme in Abhängigkeit von und , ob die durch

(für hinreichend groß) definierte Folge konvergiert oder nicht, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

für ungerade.


Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom vom Grad , für welches

gilt.



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