Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion.

Negiere (durch Umwandlung der Quantoren) die Eigenschaft, dass ${}f$ im Punkt ${}x$ stetig ist.
Negiere die Eigenschaft, dass ${}f$ stetig ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}a\in D$ ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

${}f$ ist stetig in ${}a$ .
Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass aus
${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{m}}\,$

die Abschätzung

${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

folgt.
Zu jedem ${}s\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ derart, dass aus
${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{10^{r}}}\,$

die Abschätzung

${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{10^{s}}}\,$

folgt.

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte ${}100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen ${}99$ und ${}101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

Aufgabe *

Es sei

{}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

{}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,

dann ist

{}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

{}f(x)=2x^{3}-4x^{2}+x-6\,

im Punkt ${}a=1$ für ${}\epsilon ={\frac {1}{10}}$ ein explizites ${}\delta >0$ derart, dass aus

{}d(x,a)\leq \delta \,

die Abschätzung

{}d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,

folgt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in T$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$ . Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y\in T$ aus einem nichtleeren offenen Intervall ${}]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen und es seien

g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

und

h\colon [b,c]\longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen mit ${}g(b)=h(b)$ . Zeige, dass dann die Funktion

f\colon [a,c]\longrightarrow \mathbb {R}

mit

f(t)=g(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}f(t)=h(t){\text{ für }}t>b

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

derart gibt, dass ${}f$ auf jedem Intervall der Form ${}[0,\delta ]$ mit ${}\delta >0$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ist eine solche Funktion „zeichenbar“? Siehe auch Aufgabe 54.25.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine endliche Teilmenge und

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

mit

{}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

x_{n}=5\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{3}-4\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{2}+2\left({\frac {2n+1}{n}}\right)-3

für ${}n\rightarrow \infty$ .

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

x_{n}={\sqrt {\frac {7n^{2}-4}{3n^{2}-5n+2}}},\,n\in \mathbb {N} .

Aufgabe

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv durch ${}x_{0}=1$ und

{}x_{n+1}={\sqrt {x_{n}+1}}\,

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.41 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine dichte Teilmenge. Zeige, dass eine stetige Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ durch die Werte auf ${}T$ eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Beweise direkt die Rechenregeln aus Satz 51.9 (ohne Bezug auf das Folgenkriterium).

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {2x^{7}-3x\vert {6x^{3}-11}\vert }{\vert {3x-5}\vert +\vert {4x^{3}-5x+1}\vert }},

stetig ist.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

stetige Funktionen mit

{}f(a)>g(a)\,.

Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass

{}f(x)>g(x)\,

für alle ${}x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten auf der Menge ${}C$ aller stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ die folgende Relation: Es ist ${}f\sim g$ , falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion ${}\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

{}f=g\cdot \alpha \,

gibt.

Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
Zeige, dass aus ${}f\sim g$ folgt, dass die Nullstellenmenge von ${}f$ und von ${}g$ übereinstimmen.
Zeige, dass die beiden Funktionen
${}f(x)=x\,$

und

${}g(x)=x^{2}\,$

nicht zueinander äquivalent sind.