Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex

\setcounter{section}{52}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\Q$ nach $\Q$ nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \geq }{g(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b) }
{ \leq }{g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c) }
{ = }{g(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3+4x^2-x +3 } {.} Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[-5,-4]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-3x +1 } {.} Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Fridolin sagt:

\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1) }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ [-1,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{}

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die reelle Zahl
\mathl{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^4-20X^ 2+16}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Es gibt ein Polynom
\mathbed {P \in \R[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt ein Polynom
\mathbed {Q \in \Q[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt ein normiertes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \in }{ \Q[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subset }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{.} Zeige, dass für $K$ der Zwischenwertsatz nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(A,B)}{} ein \definitionsverweis {Dedekindscher Schnitt}{}{} und sei \maabbdisp {f} {\Q} {\Q } {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { \begin{cases} 0\, , \text{ falls } x \in A\, , \\ 1\, ,\text{ falls } x \in B \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, wenn
\mathl{(A,B)}{} eine \definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{} beschreibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} nicht offen sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein reelles Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {,} eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {J } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} zwischen den \definitionsverweis {reellen Intervallen}{}{} $I$ und $J$. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder \definitionsverweis {streng fallend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x }{ \betrag { x } +1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung \maabbdisp {f} {\R} {{]{-1},1[} } {} gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungdrei{Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist. }{Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist. }{Zeige, dass durch das Polynom $X^5$ eine bijektive Abbildung \maabbeledisp {} { \Z/(7) } {\Z/(7) } {x} {x^5 } {,} gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}

Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {f} {M} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $P$ maximal $d$ \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und es gebe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \leq} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(y) }
{ \geq} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Skizziere die Graphen der Funktionen \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} {x-1 } {,} und \maabbeledisp {g} {\R_+} { \R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} } {Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $a$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b] } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} des \definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}