Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Ersetze im Ausdruck
\mathdisp {\text{QZVWXYTXUXYSRWZ}} { }
simultan die Buchstaben $Q$ durch $F$, $R$ durch $A$, $S$ durch $J$, $T$ durch $N$, $V$ durch $O$, $W$ durch $H$, $X$ durch $E$, $Y$ durch $S$ und $Z$ durch $R$. Handelt es sich um einen Term?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere, ob es sich bei
\mathdisp {n!, \, \binom { n } { k }, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\, \heartsuit} { }
um Terme handelt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Expandiere den Term
\mathl{3a^2}{.}
}
{} {}
Bei Einsetzungsaufgaben sind grundsätzlich die entstehenden Terme zu vereinfachen.
\inputaufgabe
{}
{
Ersetze im Term
\mathl{3x^2+2x+4}{} die Variable $x$ durch den Term $5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ersetze im Term
\mathl{4x^2+3x+7}{} die Variable $x$ durch den Term $y^3+2y+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ersetze im Term
\mathl{3x^2+5x+6}{} die Variable $x$ durch den Term $4y^2+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ersetze im Term
\mathdisp {a_4 \cdot 10^4+a_3 \cdot 10^3+a_2 \cdot 10^2+a_1 \cdot 10+a_0} { }
simultan die Variablen
\aufzaehlungvier{$a_0$ durch $4$, $a_1$ durch $7$, $a_2$ durch $4$, $a_3$ durch $0$, $a_4$ durch $5$,
}{$a_0$ durch $7$, $a_1$ durch $11$, $a_2$ durch $10$, $a_3$ durch $0$, $a_4$ durch $13$,
}{$a_0$ durch $b_1$, $a_1$ durch $b_3$, $a_2$ durch $b_7$, $a_3$ durch $b_1$, $a_4$ durch $b_3$,
}{$a_0$ durch $10$, $a_1$ durch $10^3$, $a_2$ durch $10^4$, $a_3$ durch $100$, $a_4$ durch $10^4$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde die Zifferntupel $(a,b,c) \in \{1,2 , \ldots , 9 \}^3$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot ba
}
{ =} { ac
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen, wobei $ba$ und $ac$ zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ersetze im Molekül
\mathdisp {H-O-C\equiv C-O-O-C \equiv B} { }
jedes Sauerstoffatom
\zusatzklammer {$O$} {} {}
durch
\mathl{O-O}{} und jedes Kohlenstoffaxiom
\zusatzklammer {$C$} {} {}
durch ein Siliciumaxiom $Si$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{T(x)}{} ein Term in der einen Variablen $x$, der ansonsten aus natürlichen Zahlen und darauf definierten Funktionssymbolen gebildet sei. Man mache sich klar, dass die Einsetzung
\mathl{a \mapsto T(a)}{} eine Abbildung von $\N$ nach $\N$ definiert.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade1.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe A} }
\bildlizenz { Littlediscoperade1.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade2.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe B} }
\bildlizenz { Littlediscoperade2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade3.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe C} }
\bildlizenz { Littlediscoperade3.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Littlediscoperade4.png} }
\end{center}
\bildtext {Die kleine Scheibe D} }
\bildlizenz { Littlediscoperade4.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Die Kleine-Scheiben-Operade besteht aus Kreisen mit einem fixierten Radius, die kleinere überschneidungsfreie durchnummerierte Kreise beinhalten. Es seien $K$ und $L$ zwei solche Scheiben. Die Verknüpfung
\mathl{K *_i L}{}
\zusatzklammer {genannt die $i$-te \stichwort {Einsetzung} {}} {} {,}
wobei $i$ zwischen $1$ und der Anzahl der inneren Kreise von $K$ ist, erhält man, indem man den $i$-ten inneren Kreis von $K$ durch den auf diese Größe geschrumpften Kreis $L$
\zusatzklammer {ohne Drehung} {} {}
ersetzt, dabei die Umrandung weglässt und die inneren Kreise neu nummeriert, und zwar so, dass die inneren Kreise von $K$ bis zur Nummer $i-1$ ihre Nummer behalten, die in den $i$-ten Kreis von $K$ platzierten Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in $L$ bekommen und die verbleibenden inneren Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in $K$ bekommen.
Alle folgenden Einsetzungsaufgaben für die kleinen Scheiben beziehen sich auf die skizzierten Objekte.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungdrei{$A *_1 B$, }{$A *_2 B$, }{$A *_3 B$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungdrei{$A *_1 A$, }{$A *_2 A$, }{$A *_3 A$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungacht{$B *_1 A$, }{$A *_2 D$, }{$D *_3 B$, }{$D *_1 B$, }{$D *_2 B$, }{$D *_1 D$, }{$C*_1 A$, }{$A *_1 C$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungfuenf{$C *_1 C$, }{$(C *_1 C) *_1 C$, }{$((C *_1 C) *_1 C ) *_1 C$, }{$C *_1 (C *_1 C)$, }{$(C *_1 C) *_1 (C *_1 C)$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Besitzen die Einsetzungen
\mathl{*_i}{} für die kleinen Scheiben ein neutrales Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Setze in den folgenden Definitionsgleichungen den Doppelpunkt an die richtige Stelle.
\mathdisp {a^3 =a \cdot a \cdot a,\, n! =n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1, \, \binom { n } { k } = { \frac{ n! }{ (n-k)! k! } } , \, P = 4x^2 +7x -5} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, von welcher Art
\zusatzklammer {im Sinne der Vorlesung} {} {}
die folgenden Gleichungen sind.
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - (-x)
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -3x+5
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 13-8
}
{ =} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_na_{n-1} \ldots a_2a_1 a_0
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n a_i 10^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, von welcher Art
\zusatzklammer {im Sinne der Vorlesung} {} {}
die folgenden Gleichungen sind.
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{\sum_{i = 1}^n i = { \frac{ n(n+1) }{ 2 } }}{,}
}{
\mathl{\prod_{i = 1}^n i = n!}{,}
}{
\mathl{4+9=13}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 4 } { 2 }
}
{ =} {6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mathl{x^2 =7}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine Lösung und eine Nichtlösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x^3+3x^2 +4x+5
}
{ =} { 11 x^2 +7x+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Umformungsregeln für Gleichungen kennen Sie? Handelt es sich um Äquivalenzumformungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche Lösungen aus $\N$ für die folgenden Gleichungen.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2x+3
}
{ = }{5x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2x
}
{ = }{x^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{9x
}
{ = }{x^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n^3-n^2
}
{ \leq} {20
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
innerhalb der natürlichen Zahlen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)
}
{ =} { 6x^3+5x^2+4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(y)
}
{ =} {y^2+3y+7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Ersetze im Term
\mathl{Q(y)}{} die Variable $y$ durch $6$. Das Ergebnis sei $a$.
}{Ersetze im Term
\mathl{P(x)}{} die Variable $x$ durch $a$.
}{Ersetze im Term
\mathl{P(x)}{} die Variable $x$ durch den Term $Q(y)$. Das Ergebnis sei
\mathl{R(y)}{.}
}{Ersetze im Term
\mathl{R(y)}{} die Variable $y$ durch $6$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Einsetzungen \aufzaehlungvier{$B *_2 A$, }{$D *_3 D$, }{$( A *_3 B) *_4 C$, }{$( D *_2 B) *_2 B$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathl{v \geq u \geq 0}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass
\mathdisp {x = v^2-u^2, \, y = 2uv,\, z=u^2+v^2} { }
die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +y^2
}
{ =} {z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Finde in $\N$ alle Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ =} {24
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Markiere die Lösungsmenge als Teilmenge im $\N^2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\maabb {f} {L} {M
} {}
eine Abbildung. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
gehört die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der Variablen $x$. Charakterisiere die Injektivität und die Surjektivität von $f$ durch Eigenschaften des Lösungsverhalten dieser Gleichungen. Was kann man sagen, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
fixiert ist und die Gleichung in der Variablen $y$ betrachtet wird?
}
{} {}