Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 17

„If you don't know how to fix it, please stop breaking it“

Severn Suzuki

Terme und Gleichungen

Unter einem (arithmetischen) „Term“ versteht man einen „zahlähnlichen“ Ausdruck, der sich aus „Zahlen“ und „Variablen“ mit Hilfe der Verknüpfungssymbole ${}+$ und ${}\cdot$ (eventuell mit ${}-$ und ${}:$ oder daraus abgeleiteten Operationen wie Potenzen), mit weiteren Funktionssysmbolen (wie die Fakultät, Wurzel, abstrakte Funktionssymbole wie ${}f$) und mit Klammern „korrekt“ bilden lässt. Eine Variable ist typischerweise ein Buchstabe ${}x,y,z,a,b,c$, in den man eine echte Zahl (zumeist aus einem fixierten Zahlenbereich) oder auch einen anderen Term einsetzen kann. Mit zahlenähnlich ist gemeint, dass wirklich eine Zahl entsteht, wenn man alle Variablen durch Zahlen ersetzt. Terme sind auch die Ausdrücke, die auf einer Seite einer Gleichung (oder Ungleichung) stehen können. Beispielsweise sind

$3\cdot (4+5),\,x,\,2x+7,\,{\frac {3}{7}},\,4x^{3}-y,\,(a+b)^{2},\,a^{2}+2ab+b^{2},\,0\cdot 1,\,n!,\,{\binom {n}{k}},\,\pi ,\,e^{u},x^{y},\,5^{x},\,{\sqrt {x}},\,\sum _{i=1}^{n}a_{i},\,f(x)$

Terme. Dagegen sind

$3\cdot (4+5)),\,2x+7=0,\,{\sqrt {\,\,\,}}$

keine Terme.

Wichtig ist, dass man Terme nur dann als gleich ansieht, wenn es sich um dieselbe Zeichenreihe handelt. Das „Ausrechnen“ oder „Vereinfachen“ von Termen verändert den Term, aber nicht die dadurch gegebene Zahl. Beispielsweise sind ${}3+5$ und ${}8$ oder ${}(a+b)^{2}$ und ${}a^{2}+2ab+b^{2}$ verschiedene Terme. Gleichheit zwischen diesen beiden letzten Ausdrücken gilt nur bei einer bestimmten Interpretation, wenn man ${}a$ und ${}b$ als natürliche Zahlen oder als Elemente eines kommutativen Halbringes interpretiert (erste binomische Formel).

Eine wichtige Funktion von Termen ist ihr Auftreten in Gleichungen. Gleichungen sich durch das Vorkommen des Gleichheitszeichens „${}\!=$“ charakterisiert, wodurch eine Gleichung in zwei Hälften unterteilt wird, in diesen Hälften stehen Terme. Gleichungen sind Aussagen, die prinzipiell wahr oder falsch sein können. Gleichungen und Terme treten in der Mathematik in unterschiedlicher Bedeutung auf, die sich häufig vom Kontext her erkennen lassen. Wir listen die wesentlichen Gleichungstypen auf.

1) Identitäten von Elementen

Das sind Gleichungen der Form ${}2+4=6$ oder ${}3\cdot 7=21$ oder ${}4!=24$, die besagen, das zwei irgendwie gegebene Elemente einer Menge gleich sind. ${}2+4$ und ${}6$ sind unterschiedliche Terme, haben aber denselben Zahlwert. In solchen Gleichungen kommen keine Variablen vor. Häufig werden solche Gleichungen verwendet, um etwas auszurechnen, also einen komplizierten Ausdruck in eine einfache Standardform zu bringen. Dazu gehören die Rechnungen in ${}\mathbb {N}$, etwa im Dezimalsystem.

2) Allgemeine Termidentitäten (Formeln, Rechengesetze)

Diese drücken eine allgemeine Gleichung zwischen Termen aus, in denen Variabeln vorkommen, und die Gleichheit bedeutet, dass für jede sinnvolle Ersetzung der Variablen durch Zahlen (die gewisse Bedingungen erfüllen) Gleichheit gilt. Beispiele dazu sind

${}a(b+c)=ab+ac\,$

oder

${}(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

oder

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Sie drücken eine Gesetzmäßigkeit aus, die unter bestimmten Bedingungen gilt, beispielsweise wenn ${}a,b$ Elemente eines kommutativen Halbringes sind oder wenn ${}a,b$ Kathetenlängen und ${}c$ die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Charakteristisch für solche Gleichungen ist, dass in ihnen Variablen vorkommen und dass, wenn man für die Variablen simultan (also an jeder Stelle, wo die Variable steht) Elemente, die die Bedingung erfüllen, einsetzt, eine wahre Elementgleichung entsteht. Eine solche Identität repräsentiert also eine Vielzahl an einzelnen Elementgleichungen. Aus dem Distributivgesetz entsteht beispielsweise durch Einsetzen die spezielle Identität ${}3\cdot (5+4)=3\cdot 5+3\cdot 4$.

3) Definitionsgleichungen

Das sind Gleichungen, durch die eine abkürzende Schreibweise für einen komplexeren Ausdruck eingeführt wird. Beispiele sind

$a^{3}=a\cdot a\cdot a,\,n!=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1,\,{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}},\,P=4x^{2}+7x-5.$

Hierbei schreibt man häufig ${}:=$ (gelesen: ist definitionsgemäß gleich) statt ${}=$, wobei der Doppelpunkt auf der Seite des einzuführenden Ausdrucks steht.

4) Gleichungen als Bedingung

Damit sind Gleichungen wie

$7-2+5=x,\,7=N(x),\,x+3=5,\,4x=9,\,2x+7=0,\,5x^{2}-3x+4=0,\,x=y,\,y=f(x),\,x^{2}+y^{2}=1$

gemeint. In diesen kommen (in aller Regel) Variablen vor, es wird aber nicht eine allgemeingültige Formel zum Ausdruck gebracht, sondern es wird eine Bedingung an die auftretenden Variablen formuliert. D.h. es werden die Elemente gesucht, die die Gleichungen erfüllen, die man also für die Variablen einsetzen kann, damit eine wahre Elementidentität entsteht. Gleichungen in diesem Sinne definieren die Aufgabenstellung, nach Lösungen zu suchen. Eine Lösung ist ein Element ${}a$ aus der gegebenen Grundmenge ${}M$ (bzw. ein Tupel wie ${}(a,b)\in M\times M$, falls es mehrere Variablen gibt), das die Eigenschaft besitzt, dass wenn man ${}x$ durch ${}a$ ersetzt, eine wahre Elementidentität entsteht. Die Lösungsmenge (oder Erfüllungsmenge) besteht aus allen Lösungen, sie kann leer sein, aus einem Element oder aus vielen Elementen bestehen. Bei Gleichungen wie ${}7-2+5=x$, was manchmal auch als ${}7-2+5=?$ formuliert wird, ist das Lösen einer Gleichung einfach das Ausrechnen der einen Seite.

5) Funktionale Gleichungen

Eine Gleichung der Form ${}y=f(x)$ nennt man auch Funktionsgleichung. Dabei steht ${}f(x)$ für einen komplexen Term, in dem die Variable ${}x$ vorkommt (funktionaler Ausdruck). Man kann sie als eine Definitionsgleichung auffassen, insofern ${}y$ eine abkürzende Schreibweise für den komplexen Term ist, aber auch als Bedingungsgleichung, insofern nach den Paaren ${}(x,y)$ gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Bei dieser Interpretation ist die Lösungsmenge einfach der Graph der Funktion ${}f$. Eine solche Funktionsgleichung hat aber auch noch den zusätzlichen Aspekt, dass sie eine Größenbeziehung bzw. eine Größenberechnung beschreibt. Aus der variablen Größe ${}x$ wird gemäß der Funktionsvorschrift ${}f(x)$ die variable Größe ${}y$ berechnet. Zwischen physikalischen oder sonstigen Größen kann beispielsweise ein linearer (proportionaler) Zusammenhang bestehen, wie wenn eine Meterangabe in Zentimeter umgerechnet werden soll oder eine Währung in eine andere Währung konvertiert werden soll. Wenn man für ${}x$ oder für ${}y$ gewisse Elemente vorgibt, so erhält man Bedingungsgleichungen in einer (nämlich der nicht fixierten) Variablen. Wenn man für ${}x$ ein bestimmtes Element ${}a$ vorgibt, so ist die Bestimmung des zugehörigen ${}y$ einfach das Ausrechnen von ${}f(a)$. Wenn hingegen für ${}y$ ein bestimmtes Element ${}b$ vorgegeben wird, so ist die Suche nach allen ${}x$ mit der Eigenschaft ${}b=f(x)$ oft schwierig.

Manche Gleichungen wie die zuletzt genannten Funktionsgleichungen kann man in mehrfacher Weise auffassen. So kann man die Gleichung

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

als Gesetzmäßigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck auffassen (bei richtiger Interpretation der einzelnen Variablen) oder als Aufgabenstellung, alle Tripel ${}(a,b,c)$ zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen.

Da Gleichungen prinzipiell Aussagen sind, kann man auch die aussagenlogischen Operationen auf sie anwenden. Man kann eine Gleichung negieren, was zu einer Ungleichung (im Sinne von ${}\neq$, nicht im Sinne von ${}\leq$) führt. Eine quadratische Gleichung wie ${}x^{2}-10x+21=0$ führt typischerweise zu einer Lösungsbeschreibung wie ${}x=3$ oder ${}x=7$, also zu einer Alternation von Gleichungen (die Durchnummerierung ${}x_{1},x_{2}$ ist nur dann nötig, wenn man das „oder“ weglässt und wenn man eine Auflistung der Lösungen haben möchte). Die Konjunktion von Gleichungen führt zu einem Gleichungssystem, beispielsweise einem linearen Gleichungssystem, bei dem man nach den Zahltupeln sucht, die sämtliche beteiligten Gleichungen simultan erfüllen.

Gleichungen in einer Variablen

In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit Gleichungen von dem zuletzt beschriebenen Typ, in dem nur eine Variable vorkommt, und die von einer einfachen Bauart sind.

Unter einer Gleichung in einer Variablen (oder Unbekannten oder Unbestimmten) ${}x$ versteht man einen Ausdruck der Form

${}f(x)=g(x)\,,$

wobei sowohl ${}f(x)$ als auch ${}g(x)$ mathematische Ausdrücke (Terme) bezeichnen, in denen ${}x$ in einer mehr oder weniger komplexen Form vorkommt (als Extremfall erlauben wir die Situation, wo ${}f(x)$ nicht explizit von ${}x$ abhängt). In einer solchen Situation besteht die Aufgabe darin, die Lösungen oder die Lösung für ${}x$ zu finden, also diejenigen Zahlen (aus einem vorgegebenen Zahlenbereich) zu finden, die die Gleichung erfüllen, die also die Eigenschaft besitzen, dass, wenn man links und rechts die Unbestimmte durch die Zahl ersetzt, in der Tat links und rechts das gleiche steht, oder aber festzustellen, dass die Gleichung keine Lösung hat. Typische Beispiele sind ${}N(x)=7$, ${}3+x=9$, ${}4x=7$, ${}3x=7x^{2}-5$, ${}x!=25$. Wenn man von Gleichungen in einer Variablen (von einer bestimmten Bauart) allgemein spricht, so ist es oft sinnvoll, für die umgebenden Daten, die die Gleichung konstituieren, selbst wieder Buchstaben zu verwenden. Diese sind zwar auch variabel, sie sind aber keine Variablen (der Gleichung), sondern Parameter, die man sich als konkret fixiert denken sollte. Eine solche Gleichung heißt auch eine Gleichungsform, erst durch die wirkliche Fixierung der Parameter als Zahlen entsteht eine echte Gleichung. Beispielsweise ist eine additive Gleichung eine Gleichung der Form

${}x+a=b\,$

und eine lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form ${}cx=d$. Eine normierte quadratische Gleichung hat die Form ${}x^{2}+px+q=0$. Hier sind ${}a,b$ (bzw. $c,d,p,q$) Parameter, die die Gleichung festlegen, wofür dann die Lösung ${}x$ gesucht wird.

Wir sagen, dass zwei Gleichungen lösungsäquivalent (oder lösungsgleich) sind, wenn sie sich auf die gleiche Variablenmenge beziehen und ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Bemerkung  

Wenn eine Gleichung der Form

${}x=c\,$

vorliegt, wobei ${}c$ ein Term ist, in dem die Variable ${}x$ nicht vorkommt, so sagt man, dass ${}x$ in der Gleichung isoliert (oder aufgelöst) vorliegt. Hierbei kann ${}c$ eventuell ein komplizierter Ausdruck sein, und so besteht die Aufgabe im Allgemeinen darin, den Ausdruck ${}c$ zu vereinfachen. Wenn beispielsweise

${}x=23-15+7\cdot 11\,$

vorliegt, so führt dies auf die vereinfachte und nicht weiter zu vereinfachende Gleichung

${}x=85\,,$

die man dann als Lösung betrachtet. Grundsätzlich versteht man unter der Lösung (im Sinne von die Lösung finden) einer Gleichung in einer Variablen die Isolierung der Variablen auf einer Seite und die Vereinfachung der anderen Seite.

Bemerkung  

Eine Gleichung der Form

${}f(x)=g(x)\,$

mit Ausdrücken ${}f$ und ${}g$, in denen die Variable ${}x$ vorkommt, ist lösungsäquivalent zur Gleichung

${}f(x)-g(x)=0\,.$

Für diese Umformung braucht man die negativen Zahlen. Grundsätzlich, und das heißt bei theoretischen Überlegungen, kann man sich auf Gleichungen der Form

${}h(x)=0\,$

mit einem Ausdruck ${}h$ in der Variablen ${}x$ beschränken. Allerdings muss diese Umstellung nicht unbedingt eine Vereinfachung sein.

Beispiel

Es sei ${}\mathbb {N}$ ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen, d.h. man hat nur die Nachfolgerabbildung ${}N\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ mit ihren charakteristischen Eigenschaften zur Verfügung. Damit kann man für jedes feste ${}c\in \mathbb {N}$ die Nachfolgergleichung

${}Nx=c\,$

formulieren. Dies ist eine Bedingungsgleichung, man sucht nach derjenigen Zahl ${}x$, dessen Nachfolger die Zahl ${}c$ ist. Bei ${}c\neq 0$ besitzt diese Gleichung eine eindeutige Lösung, nämlich den Vorgänger von ${}c$, der aufgrund der Injektivität der Nachfolgerabbildung und dem Induktionsaxiom eindeutig bestimmt ist (siehe Aufgabe *****). Hingegen besitzt die Gleichung

${}Nx=0\,$

keine Lösung, da die ${}0$ kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist.

Beispiel

Wir arbeiten über den natürlichen Zahlen und betrachten die Gleichung

${}3+x=8\,$

mit der Unbestimmten ${}x$. Gesucht ist also nach derjenigen Zahl, die zu ${}3$ hinzuaddiert die Zahl ${}8$ ergibt. Diese Gleichung besitzt die einzige Lösung

${}x=5\,.$

Dies sind zwei Aussagen! Einerseits wird behauptet, dass ${}5$ eine Lösung ist und andererseits, dass es außer der ${}5$ keine weitere Lösung gibt. Das Erste kann man einfach durch Einsetzen und Nachrechnen überprüfen, es ist ja in der Tat

${}3+5=8\,.$

Dass es keine weitere Lösung gibt, ergibt sich einfach aus der Abziehregel. Wenn ${}y$ eine weitere Lösung der Gleichung ist, so liegt die Gleichungskette

${}3+5=8=3+y\,$

vor, die Abziehregel sichert dann

${}5=y\,.$

Dieses Argument kann man auch dann durchführen, wenn man die eine Lösung ${}5$ noch gar nicht kennt: Aus der Gleichung

${}3+x=8=3+y\,$

folgt eben

${}x=y\,.$

Betrachten wir allgemein eine Gleichung (eine additive Gleichung oder Additionsgleichung) der Form

${}a+x=b\,$

mit fixierten natürlichen Zahlen ${}a,b\in \mathbb {N}$. Zwar sind hier ${}a,b$ ebenso wie ${}x$ Buchstaben, die für natürliche Zahlen stehen, doch ist die Funktion jeweils eine andere. Die Zahlen ${}a,b$ stellen jeweils fixierte natürliche Zahlen dar, die somit die Gleichung (als Parameter) festlegen, für die dann ${}x$ die zu bestimmende Unbekannte ist. Wenn also ${}a+x=b$ vorliegt, so denke man nicht an die Menge aller Dreiertupel ${}(a,b,x)\in \mathbb {N} ^{3}$ derart, dass die Gleichheit vorliegt (was ebenfalls eine sinnvolle mathematische Aufgabe ist), sondern an eine Gleichung in ${}x$, die durch die Zahlen ${}a,b$ als Parameter bestimmt ist.

Das Lösungsverhalten über ${}\mathbb {N}$ einer Gleichung der Form

${}a+x=b\,$

hängt vom Größenverhältnis zwischen ${}a$ und ${}b$ ab. Bei ${}a>b$ gibt es keine Lösung, da wegen

${}a+x\geq a>b\,$

die linke Seite stets (für jedes ${}x\in \mathbb {N}$) größer als die rechte Seite ist.

Bei ${}a\leq b$ hingegen gibt es wie im zuerst genannten Beispiel genau eine Lösung. Die Voraussetzung

${}a\leq b\,$

bedeutet ja, dass man von ${}a$ aus durch sukzessives Nachfolgerbilden zu ${}b$ gelangt. Diese Definition ist nach Lemma 10.2 äquivalent dazu, dass es überhaupt ein ${}x\in \mathbb {N}$ mit ${}a+x=b$ gibt. Die eindeutige Lösung ist dann gerade diejenige Zahl, die angibt, wie oft man den Nachfolger von ${}a$ nehmen muss, um zu ${}b$ zu gelangen. Also ist die Differenz

$b-a$

die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung

${}a+x=b\,$

bei ${}a\leq b$.

Bemerkung  

Spezifische Bezeichnungen für spezielle Gleichungen orientieren sich an den in der Gleichung vorkommenden mathematischen Strukturen, nicht am Lösungsverfahren. Eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

heißt quadratische Gleichung, weil in ihr der komplizierteste Ausdruck das Quadrat ${}x^{2}$ ist. Sie heißen nicht „Quadratwurzelgleichungen“, obwohl zur Bestimmung ihrer Lösung Quadratwurzeln gezogen werden. Entsprechend nennen wir

${}a+x=b\,$

eine Additionsgleichung, obwohl man die Lösung durch Subtraktion findet, und

${}N(x)=c\,$

eine Nachfolgergleichung, obwohl die Lösung der Vorgänger von ${}c$ ist.

Umformungen

Eine wichtige Methode, Gleichungen zu lösen, besteht darin, sie umzuformen, indem man in der Gleichung beidseitig die gleiche Rechenoperation durchführt.

Satz

Es sei

${}f(x)=g(x)\,$

eine Gleichung in der Variablen ${}x$ über einem gegebenen Zahlenbereich ${}M$. Es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

1. Wenn ${}a\in M$ eine Lösung der Gleichung ist, so ist ${}a$ auch eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}a\in M$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn ${}a$ eine Lösung der umgeformten Gleichung

   ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,$

   ist.

Beweis

1. Wenn

   ${}f(a)=g(a)\,$

   ist, so ist auch

   ${}\varphi (f(a))=\varphi (g(a))\,,$

   da ja eine Abbildung wohldefiniert auf den Elementen ist, und nicht irgendwie von der Darstellung des Elementes abhängt.

2. Dies ist eine unmittelbare Anwendung der Injektivität von ${}\varphi$.

$\Box$

Wichtige elementare Anwendungen dieses Prinzips sind, dass man zu einer Gleichung (über den natürlichen, ganzen, reellen Zahlen) beidseitig eine natürliche Zahl hinzuaddieren oder beidseitig mit einer von ${}0$ verschiedenen Zahl multiplizieren darf. Die Injektivität ergibt sich aus der Abziehregel bzw. aus der Kürzungsregel. Bei einer injektiven Abbildung ergibt sich also eine lösungsäquivalente Gleichung, man spricht von Äquivalenzumformungen. Bei einer nicht injektiven Abbildung liefert die umgeformte Gleichung nur eine notwendige Bedingung für eine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Beispiel

Auf die Gleichung

${}x-3=10\,$

kann man beidseitig die Addition ${}+3$ (die bijektiv ist) loslassen und erhält die umgeformte Gleichung

${}x-3+3=10+3\,.$

Vereinfachungen führen auf die Lösung

${}x=13\,.$

Bemerkung  

Es sei eine Gleichung der Form

${}f(x)=g(x)\,$

gegeben. Wir betrachten Gleichungsumformungen, die nicht auf einer injektiven Abbildung beruhen. Als Extremfall betrachten wir die Multiplikation mit ${}0$, die ja aufgrund der Annullationsregel alles auf ${}0$ abbildet und somit hochgradig nicht injektiv ist. Die umgeformte Gleichung ist

${}0\cdot f(x)=0\cdot g(x)\,,$

also einfach

${}0=0\,.$

Diese Gleichung wird natürlich von jedem ${}x$ erfüllt, zum Auffinden der Lösungen der Ursprungsgleichung liefert diese Umformung keinen sinnvollen Beitrag.

Betrachten wir das Quadrieren, d.h. wir gehen von der gegebenen Gleichung zu

${}(f(x))^{2}=(g(x))^{2}\,$

über. Über den natürlichen Zahlen ist das Quadrieren eine injektive Abbildung, aber nicht auf den ganzen Zahlen. Die Gleichung

${}x=3\,$

hat offenbar die einzige Lösung

${}x=3\,,$

dagegen hat die quadrierte Gleichung

${}x^{2}=9\,$

die beiden Lösungen

${}x=3,-3\,.$

Ungleichungen

Bei einer Ungleichung handelt es sich um einen Ausdruck der Form

${}f(x)\geq g(x)\,,$

wobei ${}f$ und ${}g$ Ausdrücke in der einen Variablen ${}x$ sind. Statt Ungleichung ist eigentlich die Bezeichnung Abschätzung besser. Wie eine Gleichung bezieht sich eine solche Ungleichung auf eine Grundmenge ${}M$, typischerweise ein Zahlenbereich mit einer Ordnung, in der die Ausdrücke ${}f$ und ${}g$ und das ${}\geq$ sinnvoll interpretiert werden können. Unter einer Lösung der Ungleichung versteht man ein ${}a\in M$, das die Bedingung

${}f(a)\geq g(a)\,$

erfüllt. Unter der Lösungsmenge zur Ungleichung versteht man die Menge aller Lösungen, also die Menge

${\left\{a\in M\mid f(a)\geq g(a)\right\}}.$

Fußnoten

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