Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 17



Die Pausenaufgabe

Ersetze im Ausdruck

simultan die Buchstaben durch , durch , durch , durch , durch , durch , durch , durch und durch . Handelt es sich um einen Term?




Übungsaufgaben

Diskutiere, ob es sich bei

um Terme handelt.



Expandiere den Term .


Bei Einsetzungsaufgaben sind grundsätzlich die entstehenden Terme zu vereinfachen.


Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.



Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.



Ersetze im Term die Variable durch den Term und vereinfache den entstehenden Ausdruck.



Ersetze im Term

simultan die Variablen

  1. durch , durch , durch , durch , durch ,
  2. durch , durch , durch , durch , durch ,
  3. durch , durch , durch , durch , durch ,
  4. durch , durch , durch , durch , durch .



Finde die Zifferntupel , die die Gleichung

erfüllen, wobei und zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.



Ersetze im Molekül

jedes Sauerstoffatom () durch und jedes Kohlenstoffaxiom () durch ein Siliciumaxiom .



Es sei ein Term in der einen Variablen , der ansonsten aus natürlichen Zahlen und darauf definierten Funktionssymbolen gebildet sei. Man mache sich klar, dass die Einsetzung eine Abbildung von nach definiert.


Die kleine Scheibe A
Die kleine Scheibe B
Die kleine Scheibe C
Die kleine Scheibe D

Die Kleine-Scheiben-Operade besteht aus Kreisen mit einem fixierten Radius, die kleinere überschneidungsfreie durchnummerierte Kreise beinhalten. Es seien und zwei solche Scheiben. Die Verknüpfung (genannt die -te Einsetzung), wobei zwischen und der Anzahl der inneren Kreise von ist, erhält man, indem man den -ten inneren Kreis von durch den auf diese Größe geschrumpften Kreis (ohne Drehung) ersetzt, dabei die Umrandung weglässt und die inneren Kreise neu nummeriert, und zwar so, dass die inneren Kreise von bis zur Nummer ihre Nummer behalten, die in den -ten Kreis von platzierten Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in bekommen und die verbleibenden inneren Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in bekommen.

Alle folgenden Einsetzungsaufgaben für die kleinen Scheiben beziehen sich auf die skizzierten Objekte.


Bestimme die Einsetzungen

  1. ,
  2. ,
  3. .



Bestimme die Einsetzungen

  1. ,
  2. ,
  3. .



Bestimme die Einsetzungen

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. .



Bestimme die Einsetzungen

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .



Besitzen die Einsetzungen für die kleinen Scheiben ein neutrales Element?



Setze in den folgenden Definitionsgleichungen den Doppelpunkt an die richtige Stelle.



Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.



Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .



Finde eine Lösung und eine Nichtlösung für die Gleichung



Welche Umformungsregeln für Gleichungen kennen Sie? Handelt es sich um Äquivalenzumformungen?



Bestimme sämtliche Lösungen aus für die folgenden Gleichungen.

  1. ,
  2. ,
  3. .



Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung

innerhalb der natürlichen Zahlen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

und

  1. Ersetze im Term die Variable durch . Das Ergebnis sei .
  2. Ersetze im Term die Variable durch .
  3. Ersetze im Term die Variable durch den Term . Das Ergebnis sei .
  4. Ersetze im Term die Variable durch .



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Einsetzungen

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .



Aufgabe (2 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen. Zeige, dass

die Gleichung

erfüllen.



Aufgabe (2 Punkte)

Finde in alle Lösungen der Gleichung

Markiere die Lösungsmenge als Teilmenge im .



Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Abbildung. Zu jedem gehört die Gleichung

in der Variablen . Charakterisiere die Injektivität und die Surjektivität von durch Eigenschaften des Lösungsverhalten dieser Gleichungen. Was kann man sagen, wenn fixiert ist und die Gleichung in der Variablen betrachtet wird?



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