Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 16

Die Pausenaufgabe

Aufgabe *

Führe im Zehnersystem die Multiplikation

$7863\cdot 4107$

schriftlich durch.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise (bekannte) Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler ${}k=2,3,5,9,11$.

Aufgabe

Betrachte im ${}15$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl

$EA09B4CA.$

Ist diese Zahl durch ${}7$ teilbar?

Aufgabe

Führe im Vierersystem die Multiplikation

$302\cdot 201$

schriftlich durch.

Aufgabe

Führe die Multiplikation ${}3426\cdot 517$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.

Aufgabe *

Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis ${}n\geq 2$ nur ein- und zweistellige Zahlen auftreten.

Aufgabe *

1. Berechne ${}3^{2}$ im Vierersystem, ${}4^{2}$ im Fünfersystem und ${}9^{2}$ im Zehnersystem.
2. Zeige, dass im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) zur Basis ${}n\geq 3$ rechts unten die Zahl mit den Ziffern ${}n-2$ und ${}1$ steht.

Aufgabe

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren im Zehnersystem der Übertrag maximal gleich ${}8$ ist.

Aufgabe

Beweise Lemma 16.2 durch Induktion über die Stelligkeit des mehrstelligen Faktors.

Aufgabe *

Zeige, dass beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl ${}b$ die Überträge stets ${}<b$ sind.

Aufgabe

Multipliziere

$583063817\cdot 2$

und

$583063817\cdot 5$

gemäß Bemerkung 16.5.

Aufgabe

Bestimme die Ziffer ${}c_{13}$ des Produktes

$5771681093069402738186\cdot 5$

gemäß Bemerkung 16.5.

Aufgabe

Bestimme die Ziffer ${}c_{19}$ des Produktes

$5781864716867740275310931109\cdot 2$

gemäß Bemerkung 16.5.

Aufgabe

Begründe, dass bei der Multiplikation einer Zahl ${}m=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$ (im Dezimalsystem) mit ${}4$ die Ziffer ${}c_{i}$ des Produktes nur von den drei Ziffern ${}a_{i},a_{i-1},a_{i-2}$ abhängt, aber im Allgemeinen nicht nur von den zwei Ziffern ${}a_{i},a_{i-1}$.

Aufgabe

Wie viele Ziffern des linken Faktors muss man berücksichtigen, wenn man sich nur für die Anfangsziffer des Produktes

$14285714325\cdot 7$

interessiert?

Aufgabe

Es sollen zwei Zahlen multipliziert werden, von denen die eine mit ${}7$ und die andere mit ${}8$ anfängt. Mit welcher Ziffer kann das Produkt anfangen?

Aufgabe

Jemand macht gegen den Beweis zu Lemma 16.6 den Einwand, dass dort eine Situation entsteht, wo sich die Koeffizienten ${}a_{i}$ nicht auf ${}10^{i}$, sondern auf ${}10^{i+\ell }$ beziehen, was verwirrend sei. Nehme dazu Stellung.

Aufgabe

Beweise, dass das Multiplizieren mit dem Jalousie-Verfahren korrekt ist.

Aufgabe

Gabi Hochster hat sich im Mathematikunterricht (erste Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) unterrichtet wird, geweigert, bei der Überprüfung des Kleinen Einmaleins ${}7\cdot 10$ auszurechnen, mit der Begründung, dass das kleine Einmaleins dazu da sei, einstellige Zahlen miteinander zu multiplizieren, es für größere Zahlen einen anderen Algorithmus gebe und dass die Einbeziehung der Zehnerreihe in das kleine Einmaleins diesen Aspekt völlig verdunkle. Als Frau Maier-Sengupta diesen Einwand nicht verstand und auf die Aufgabe bestand, wurde Gabi zornig und sagte „Sie haben ja gar keine Ahnung von Mathematik, gehen Sie doch zu Ihrer buddhistischen Philosophie und schicken Sie eine echte Mathelehrerin hier her“. Daraufhin trug Frau Maier-Sengupta einen Vermerk über das beleidigende Verhalten von Gabi in das Klassenbuch ein. Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In Mathematik teilnehmen sollen. Was ist Ihre Position?

Aufgabe *

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Aufgabe *

Führe im Zehnersystem die Subtraktion

$710534-691228$

schriftlich durch.

Aufgabe *

Berechne ${}13-8$ direkt und mit dem Algorithmus des schriftlichen Subtrahierens. Was fällt auf?

Aufgabe *

Welche und wie viele Grunddifferenzen muss man (auswendig) kennen, um den Algorithmus des schriftlichen Subtrahierens anwenden zu können? Was ist das kleine Einsminuseins?

Aufgabe

Führe im Zweiersystem die Subtraktion

$11010-10111$

schriftlich durch.

Aufgabe

Beweise die Korrektheit des schriftlichen Subtrahierens durch den Nachweis, dass beim schriftlichen Subtrahieren ${}m-n$ und ${}(m-1)-(n-1)$ das gleiche Ergebnis liefern.

Aufgabe *

Gibt es ein Verfahren zum schriftlichen Potenzieren, das die Dezimalentwicklung von ${}n^{k}$ berechnet, wenn die natürlichen Zahlen ${}n,k$ in ihrer Dezimalentwicklung gegeben sind?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Führe im Sechsersystem die Multiplikation

$453\cdot 525$

schriftlich durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ziffer ${}c_{17}$ des Produktes

$402738186226577168109506971\cdot 5$

gemäß Bemerkung 16.5.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sollen zwei Zahlen ${}m,n$ multipliziert werden, von denen jeweils nur die beiden Anfangsziffern ${}a$ bzw. ${}b$ bekannt sind. Erstelle eine Tabelle, die die möglichen ersten Anfangsziffern des Produktes auflistet.

Aufgabe (2 Punkte)

Führe die Multiplikation ${}50317\cdot 9483$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.

Aufgabe (2 Punkte)

Führe im Zweiersystem die Subtraktion

$10011-1101$

schriftlich durch.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}x$ eine dreistellige natürliche Zahl im Zehnersystem und ${}y$ die von hinten gelesene Zahl. Zeige, dass die positive Differenz ${}x-y$ stets ein Vielfaches von ${}9$ und von ${}11$ ist.