Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 16

Auch mit dem Ball spielt sie gern.

Schriftliches Multiplizieren

Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt im allgemeinen Distributivgesetz. Für zwei natürliche Zahlen der Form

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell }10^{\ell }$

ist

${}{\begin{aligned}m\cdot n&={\left(a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\right)}\cdot {\left(b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell }10^{\ell }\right)}\\&=\sum _{0\leq i\leq k,\,0\leq j\leq \ell }a_{i}b_{j}10^{i}\cdot 10^{j}\\&=\sum _{0\leq i\leq k,\,0\leq j\leq \ell }a_{i}b_{j}10^{i+j}\\&=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{s-i}\right)}10^{s}.\end{aligned}}$

Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor ${}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{s-i}$ nicht kleiner als ${}10$, aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist Bemerkung 14.5 anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren.

Verfahren  

Beim schriftlichen Multiplizieren ${}m\cdot n$ zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell }10^{\ell }$

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor.

1. Man berechnet für jedes ${}j=0,1,\ldots ,\ell$ einzeln die Dezimalziffern ${}c_{i}$ des Teilproduktes ${}m\cdot b_{j}$ und die Überträge ${}d_{i+1}$ (mit dem Startwert ${}d_{0}=0$) sukzessive über die Gleichungen

   ${}a_{i}b_{j}+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}\,$

   mit

   ${}0\leq c_{i}\leq 9\,.$

2. Die zu den ${}j$ (bzw. ${}b_{j}$) gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils ${}c_{0}$ unterhalb von ${}b_{j}$ steht.
3. Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens.

Das Ergebnis (im Dezimalsystem) dieser Addition ist die Ausgabe des Multiplikationsalgorithmus.

Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl ${}n=b_{0}$ einstellig ist (sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt). Diesen Fall betrachten wir zuerst.

Lemma

Das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis

Die linke Faktor sei

${}m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,$

und der rechte Faktor sei ${}b=b_{0}$, wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form

$a_{k}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,\,\cdot \,\,b$

im Sinne von Verfahren 16.1 durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl ${}c_{k+1}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$. Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Es ist, wobei wir mehrfach die definierende Gleichung ${}a_{i}b+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}$ verwenden,

${}{\begin{aligned}mb&={\left(a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\right)}b\\&=a_{0}b+a_{1}b10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=(c_{0}+d_{1}10)+a_{1}b10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+(d_{1}+a_{1}b)10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+(c_{1}+d_{2}10)10+a_{2}b10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(d_{2}+a_{2}b)10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=c_{0}+c_{1}10+(c_{2}+d_{3}10)10^{2}+\cdots +a_{k}b10^{k}\\&=\ldots \\&=c_{0}+c_{1}10+c_{2}10^{2}+\cdots +c_{k}10^{k}+c_{k+1}10^{k+1}.\end{aligned}}$

$\Box$

Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl.

Lemma

Beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl ${}b$

sind die Überträge stets ${}<b$.

Beweis

Siehe Aufgabe 16.10.

$\Box$

Der Übertrag ${}b-1$ tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der ${}9$ mit ${}b$ zeigt.

Beispiel

Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl ${}b$ wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit ${}b$ multiplizieren. Beispielsweise ist bei ${}b=3$ und ${}m=333333333$ bzw. ${}n=333333334$ einerseits

${}333333333\cdot 3=999999999\,$

und andererseits

${}333333334\cdot 3=1000000002\,.$

Im Gegensatz zur Multiplikation mit der ${}3$ ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der ${}10$, also mit ${}2$ und ${}5$, besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die ${}i$-te Ziffer des Produktes einer Zahl ${}m$ mit der ${}2$ (oder der ${}5$) auszurechnen, muss man nur die ${}i$-te und die ${}(i-1)$-te Ziffer der Zahl ${}m$ kennen.

Bemerkung  

Bei der Multiplikation mit ${}b=2$ und mit ${}b=5$ vereinfacht sich das in Verfahren 16.1 beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl

${}m=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot 10^{i}\,$

mit einer einstelligen Zahl ${}b$. Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen (Division mit Rest)

${}a_{i}\cdot b+d_{i}=d_{i+1}\cdot 10+c_{i}\,$

mit

${}0\leq c_{i}\leq 9\,$

durchzuführen, wobei dadurch die ${}c_{i}$ und die ${}d_{i}$ rekursiv mit dem Startwert ${}d_{0}=0$ festgelegt sind und wobei die ${}c_{i}$ die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur

${}a_{i}\cdot b=d_{i+1}\cdot 10+r_{i}\,$

berechnen muss und die Ergebnisziffern

${}c_{i}=d_{i}+r_{i}\,$

erhält. Insbesondere hängt ${}c_{i}$ nur von ${}a_{i}$ und ${}a_{i-1}$ ab. Kurz gesagt: Die ${}i$-te Ziffer eines Produktes ${}a_{k}\ldots a_{i}a_{i-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$ mit ${}2$ (oder mit ${}5$) ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl ${}a_{i}a_{i-1}$ mit ${}2$ bzw. mit ${}5$ multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach Lemma 16.3 bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl ${}b$ die Überträge echt kleiner als ${}b$. Bei ${}b=2$ kommen also nur die Überträge ${}0$ oder ${}1$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von ${}a_{i}\cdot 2+d_{i}$ bzw. ${}a_{i}\cdot 2$ durch ${}10$ überein (wenn man zu einer geraden Zahl eine ${}1$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht), Die Beziehung ${}c_{i}=r_{i}+d_{i}$ folgt direkt.

Bei ${}b=5$ kommen nur die Überträge ${}0,1,2,3,4$ in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von ${}a_{i}\cdot 5+d_{i}$ bzw. ${}a_{i}\cdot 5$ durch ${}10$ überein (wenn man zu einer durch ${}5$ teilbaren Zahl eine Zahl ${}\leq 4$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht). Die Beziehung ${}c_{i}=r_{i}+d_{i}$ folgt wieder direkt.

Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach.

Lemma

Die Dezimaldarstellung eines Produktes aus einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl

${}m=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,$

und einer Zehnerpotenz ${}10^{\ell }$ erhält man, indem man an diese Ziffernfolge ${}\ell$ Nullen anhängt.

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}m\cdot 10^{\ell }&={\left(a_{k}10^{k}+\cdots +a_{2}10^{2}+a_{1}10+a_{0}\right)}\cdot 10^{\ell }\\&=a_{k}10^{k+\ell }+\cdots +a_{2}10^{2+\ell }+a_{1}10^{1+\ell }+a_{0}10^{\ell }\\&=a_{k}10^{k+\ell }+\cdots +a_{2}10^{2+\ell }+a_{1}10^{1+\ell }+a_{0}10^{\ell }+0\cdot 10^{\ell -1}+\cdots +0\cdot 10^{1}+0\cdot 10^{0},\end{aligned}}$

woraus unmittelbar die Dezimaldarstellung des Produktes ablesbar ist.

$\Box$

Satz

Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.

Beweis

Die beiden Zahlen seien

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell }10^{\ell }.$

Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander

$a_{k}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}\,\,\cdot \,\,b_{j}$

für ${}j=0,1,\ldots ,\ell$ und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von ${}b_{j}$ steht. So entstehen ${}\ell +1$ Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt (wobei man dies nur gedanklich machen muss). Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis

${}{\begin{aligned}m\cdot n&=m\cdot {\left(b_{\ell }10^{\ell }+b_{\ell -1}10^{\ell -1}+\cdots +b_{2}10^{2}+b_{1}10+b_{0}\right)}\\&=m\cdot b_{\ell }10^{\ell }+mb_{\ell -1}\cdot 10^{\ell -1}+\cdots +m\cdot b_{2}10^{2}+m\cdot b_{1}10+m\cdot b_{0}.\end{aligned}}$

Nach Lemma 16.2 werden die ${}m\cdot b_{j}$ im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von ${}b_{j}$ stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen Lemma 16.6 die Zahlen ${}m\cdot b_{j}10^{j}$ korrekt übereinander, sodass das schriftliche Addieren nach Satz 15.6 das korrekte Ergebnis liefert.

$\Box$

Bemerkung  

Eine alternative Möglichkeit, zwei im Dezimalsystem gegebene natürliche Zahlen algorithmisch zu multiplizieren, bietet das Jalousie-Verfahren (oder Rauteverfahren oder Gitterverfahren), das wir an einem Beispiel erläutern wollen. Es soll die Multiplikation ${}5183\cdot 475$ durchgeführt werden. Dazu legt man ein (mehr oder weniger) rechteckiges Schema der Form

${\begin{matrix}&&&&&&3&&\cdot &&4&&&&\\&&&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &&&&&\\&&&&8&&\diagup &&{|}&&\diagdown &&7&&\\&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &&&\\&&1&&\diagup &&{|}&&\cdot &&{|}&&\diagdown &&5\\&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &\\5&&\diagup &&{|}&&\cdot &&{|}&&\cdot &&{|}&&\cdot \\&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &\\\cdot &&{|}&&\cdot &&{|}&&\cdot &&{|}&&\diagup &&\\&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&\\&&\diagdown &&{|}&&\cdot &&{|}&&\diagup &&&&\\&&&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&\\&&&&\diagdown &&{|}&&\diagup &&&&&\\&&&&&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&&&\\&&&&&&\cdot &&&&&&&&\\&&&&&&&&&&&&&&\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\&&&&&&&&&&&&&&\end{matrix}}$

an, sodass für jedes Ziffernpaar eine Raute entsteht, die durch die vertikalen Striche in zwei Hälften unterteilt wird. Die Produkte der einstelligen Ziffern gemäß dem kleinen Einmaleins schreibt man in die zugehörige Raute, und zwar die Endziffer rechts und die Zehnerziffer links.

${\begin{matrix}&&&&&&3&&\cdot &&4&&&&\\&&&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &&&&&\\&&&&8&&\diagup &1&{|}&2&\diagdown &&7&&\\&&&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &&&\\&&1&&\diagup &3&{|}&2&\cdot &2&{|}&1&\diagdown &&5\\&&&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &\\5&&\diagup &0&{|}&4&\cdot &5&{|}&6&\cdot &1&{|}&5&\cdot \\&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &\\\cdot &2&{|}&0&\cdot &0&{|}&7&\cdot &4&{|}&0&\diagup &&\\&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&\\&&\diagdown &3&{|}&5&\cdot &0&{|}&5&\diagup &&&&\\&&&\diagdown &{|}&\diagup &{|}&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&\\&&&&\diagdown &2&{|}&5&\diagup &&&&&\\&&&&&\diagdown &{|}&\diagup &&&&&&&\\&&&&&&\cdot &&&&&&&&\\&&&1&&2&&1&&&&&&&\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\&2&&4&&6&&1&&9&&2&&5&\end{matrix}}$

Dann addiert man die entstehenden Spalten aus einstelligen Zahlen zusammen, notiert die Endziffer der Summe darunter und verarbeitet den Übertrag eine Stelle weiter links. Das Gesamtergebnis steht unter der punktierten Linie. Für die Korrektheit dieses Algorithmus sei auf Aufgabe 16.18 verwiesen. Der Vorteil dieses Algorithmus ist, dass man nur das kleine Einmaleins und die Addition braucht, man muss keine Überträge „im Sinn“ haben.

Schriftliches Subtrahieren

x-y	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	${}0$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$
2	${}1$	${}0$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$
3	${}2$	${}1$	${}0$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$
4	${}3$	${}2$	${}1$	${}0$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$
5	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$	${}0$	${}\times$	${}\times$	${}\times$	${}\times$
6	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$	${}0$	${}\times$	${}\times$	${}\times$
7	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$	${}0$	${}\times$	${}\times$
8	${}7$	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$	${}0$	${}\times$
9	${}8$	${}7$	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$	${}0$
10	${}9$	${}8$	${}7$	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$	${}1$
11	${}\star$	${}9$	${}8$	${}7$	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$	${}2$
12	${}\star$	${}\star$	${}9$	${}8$	${}7$	${}6$	${}5$	${}4$	${}3$
13	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}9$	${}8$	${}7$	${}6$	${}5$	${}4$
14	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}9$	${}8$	${}7$	${}6$	${}5$
15	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}9$	${}8$	${}7$	${}6$
16	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}9$	${}8$	${}7$
17	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}9$	${}8$
18	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}\star$	${}9$

Das kleine Einsminuseins für ${}x-y$. Diese Tabelle muss man auswendig kennen, um das schriftliche Subtrahieren effektiv durchführen zu können. Der Eintrag ${}\times$ bedeutet, dass diese Operation (wie ${}3-7$) in ${}\mathbb {N}$ nicht durchgeführt werden kann, der Eintrag ${}\star$ bedeutet, dass diese Operation in ${}\mathbb {N}$ ausgeführt werden kann, dass sie aber auf eine Operation in der Einerstelle allein zurückgeführt werden kann (wie bei ${}18-5$).

Verfahren  

Beim schriftlichen Subtrahieren ${}m-n$ zweier natürlicher Zahlen mit

${}m\geq n\,,$

die im Dezimalsystem als

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$

gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern ${}c_{i}$ des Ergebnisses und die Überträge ${}d_{i+1}$ (mit dem Startwert ${}d_{0}=0$) sukzessive durch

${}c_{i}={\begin{cases}a_{i}-{\left(b_{i}+d_{i}\right)}\,,{\text{ falls }}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,,\\a_{i}+10-{\left(b_{i}+d_{i}\right)}\,,{\text{ falls }}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,,\end{cases}}\,$

und

${}d_{i+1}={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,,\\1\,,{\text{ falls }}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,.\end{cases}}\,$

Die Dezimaldarstellung der Differenz ${}m-n$ ist ${}c_{k}\ldots c_{2}c_{1}c_{0}$.

Satz

Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.

Beweis

Es sei

$m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k}\,\,{\text{ und }}\,\,n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{k}10^{k}$

und

${}m\geq n\,.$

Wir behaupten, dass für jedes ${}i=-1,0,1,\ldots ,k$ der Ausdruck

$S_{i}=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,$

konstant gleich ${}m$ ist. Für

${}i=-1\,$

fehlen die ${}b$-, die ${}c$- und die ${}d$-Ausdrücke, sodass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von ${}S_{i-1}$ nach ${}S_{i}$, was dem ${}i$-ten Rechenschritt entspricht. Im Fall

${}a_{i}\geq b_{i}+d_{i}\,$

ist ${}d_{i+1}=0$, ${}a_{i}-d_{i}=b_{i}+c_{i}$ und somit

${}{\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+(b_{i}+c_{i})10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}10^{i+1}+b_{i}10^{i}+\cdots +b_{1}10+b_{0}c_{i}10^{i}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}$

Im Fall

${}a_{i}<b_{i}+d_{i}\,$

ist ${}d_{i+1}=1$, ${}a_{i}=b_{i}+c_{i}+d_{i}-10$ und somit

${}{\begin{aligned}S_{i-1}&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}+{\left(b_{i}+c_{i}+d_{i}-10\right)}10^{i}-d_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-10\cdot 10^{i}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=a_{k}10^{k}+\cdots +a_{i+1}10^{i+1}-d_{i+1}\cdot 10^{i+1}+b_{i}10^{i}+b_{i-1}10^{i-1}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{i}10^{i}+c_{i-1}10^{i-1}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\\&=S_{i}.\,\end{aligned}}$

Für ${}i=k$ sind die ${}a$- und die ${}d$-Ausdrücke vollständig abgebaut (${}d_{k+1}=0$) und es bleiben die vollständigen ${}b$- und ${}c$-Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass

${}m=b_{k}10^{k}+\cdots +b_{1}10+b_{0}+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}=n+c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}\,$

ist und somit ist ${}c_{k}10^{k}+\cdots +c_{1}10+c_{0}$ gleich der Differenz ${}m-n$.

$\Box$

Fußnoten

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