- Diagonalisierbare Gruppen und Graduierungen
Es sei eine diagonalisierbare Gruppe, also eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen
(einem Torus).
Dann ist
-
also gleich der Charaktergruppe zu einer endlich erzeugten abelschen Gruppe . Für den Torus gilt
-
und die Einbettung entspricht einem surjektiven Gruppenhomomorphismus
bzw. einer kurzen exakten Sequenz
-
Diese Surjektion liefert eine
-
Graduierung
des Polynomrings in Variablen. Es ist
-
mit
-
Eine Untergruppe innerhalb der Gruppe der Diagonalmatrizen führt also zu einer Graduierung des Polynomrings.
Sei nun umgekehrt durch einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
-
eine Graduierung gegeben. Wir setzen
.
Dies liefert einen surjektiven
-
Algebrahomomorphismus
-
und damit eine abgeschlossene Einbettung
-
also in den Torus. Ein Charakter von , also ein -Punkt links, entspricht dabei der Diagonalmatrix
-
Eine Untergruppe des -dimensionalen Torus operiert in natürlicher Weise auf dem Polynomring in Variablen. Wie sieht der Invariantenring dazu aus?
Es sei ein
algebraisch abgeschlossener Körper
der
Charakteristik
und es sei
ein
surjektiver Gruppenhomomorphismus
mit zugehöriger Operation von auf über die Einbettung
.
Dann ist
-
Zusatz: (Umformulierung der rechten Seite)
Invariantenring Monoidring
- Invariantenringe
hat nur triviale Lösung, d.h.
Inv.
-
ist invariant
ist ein Invariantenring
Quotient ? (Bahn???, ohne Nullpunkt, der verhält sich ???)
nicht separiert
affine ??? mit verdoppelten Punkten
-
??? aus Nullpunkt?
Exkurs: (Eulerfeld)
Eulerfeld = ??? Vektorfeld definiert durch:
??? man hat eine -???
Matrix definert gewöhnliche ??? Differentialgleichung mit konstanten Koeffizenten.
Die Bahnen zur Operation durch
-
-
ist Lösung der Diffentialgleichung.