Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 22/latex

\setcounter{section}{22}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es liege eine \definitionsverweis {Gruppenoperation}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ auf einer Menge $M$ vor. Zeige, dass die \definitionsverweis {Isotropiegruppen}{}{} zu zwei \definitionsverweis {äquivalenten}{}{} Elementen
\mathl{x,y\in M}{} in natürlicher Weise \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den Beweis zu Lemma 22.2 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität. }{$G$ ist die Vereinigung aller $G_H$. }{Es sei $g \neq \operatorname{Id} \,$. Das Element $g$ kommt in genau zwei der $G_H$ vor. In welchen? }{Die Halbachsenklasse $K_i$ enthält $n/n_i$ Elemente. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 { \left( 1- \frac{1}{ n} \right) } }
{ =} {\sum_{i = 1}^m { \left( 1 - \frac{1}{n_i} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $M$ eine Menge und \maabbeledisp {} {G} {\operatorname{Perm} \, (M) } {g} {\sigma_g } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} in die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} von $M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm ( \mathfrak {P} \, (M ))} \, } {g} {(N \mapsto g(N)) } {,} in die Permutationsgruppe der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte ein \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die \zusatzklammer {eigentlichen und uneigentlichen} {} {} Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten $(\pm 1, \pm 1)$ entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat \zusatzklammer {mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt} {} {} gleich aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich jede endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{} als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der $\operatorname{SO}_{n}\,(\R)$ realisieren lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer Raumdrehung, bei der sämtliche Matrixeinträge $\neq 0,1$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} der Elemente aus der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{} $A_5$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {A_1,A_2,A_3} {und} {A_4} {} vier Geraden im $\R^3$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei \maabbdisp {f} {\R^3} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {lineare, eigentliche Isometrie}{}{} mit $f(A_i)=A_i$ für $i=1,2,3,4$. Zeige, dass $f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Drehungen um die $x$-Achse, die $y$-Achse und die $z$-Achse mit den Ordungen $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ \zusatzklammer {$\varphi_1$ ist also eine Drehung um den Winkel $360/\ell_1$ Grad um die $x$-Achse, etc.} {} {.} Es sei $1 \leq \ell_1 \leq \ell_2 \leq \ell_3$. Für welche Tupel $( \ell_1, \ell_2, \ell_3)$ ist die von diesen drei Drehungen \definitionsverweis {erzeugte Gruppe}{}{} endlich?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige: Keine der \definitionsverweis {alternierenden Gruppen}{}{} $A_n$ besitzt eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei.

}
{} {}