Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die zyklische Gruppe

$Z_{n}={\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$

auf der Punktmenge

${\left\{{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}$

treu operiert, dass sie bei ${}n$ ungerade auf der Geradenmenge

${\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}$

ebenfalls treu operiert und dass sie bei ${}n$ gerade auf der Geradenmenge

${\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,{\frac {n}{2}}-1\right\}}$

operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der Kern der Operation?

Aufgabe

Zeige, dass die binäre Diedergruppe ${}BD_{1}$ eine zyklische Gruppe der Ordnung ${}4$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die binäre Diedergruppe ${}BD_{n}$. Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ die von

${}B={\begin{pmatrix}0&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&0\end{pmatrix}}\,$

erzeugte Untergruppe kein Normalteiler ist.

Aufgabe

Es sei ${}\zeta \in {\mathbb {C} }$ eine ${}2n$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die binäre Diedergruppe ${}BD_{n}$ auf der Geradenmenge

${\left\{\langle {\begin{pmatrix}\zeta ^{j}\\\zeta ^{-j}\end{pmatrix}}\rangle \mid j=0,\ldots ,n-1\right\}}\cup \{\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle ,\,\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle \}$

operiert.

Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 23.1, Beispiel 23.2, Beispiel 23.3 und Beispiel 23.4 beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

$F={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}-\xi +\xi ^{4}&\xi ^{2}-\xi ^{3}\\\xi ^{2}-\xi ^{3}&\xi -\xi ^{4}\end{pmatrix}}$

zu ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ gehört.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ eine endliche Untergruppe und es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$. Zeige, dass durch

${}\Phi (w,z):={\frac {1}{\#\left(G\right)}}\sum _{\sigma \in G}\left\langle \sigma w,\sigma z\right\rangle \,$

ein Skalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }^{n}$ definiert wird.

Aufgabe

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ eine Matrix und

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann unitär ist, wenn ${}{}^{t}M\cdot {\overline {M}}$ die Einheitsmatrix ist.

In den folgenden Aufgaben rekapitulieren wir einige Eigenschaften der Einheitswurzeln und der Kreisteilungspolynome.

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die ${}n$ Vektoren (im ${}{\mathbb {C} }^{n}$)

$(1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{n-1}),\zeta \in \mu _{n}({\mathbb {C} }),$

linear unabhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}\zeta \in K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel in einem Körper ${}K$. Zeige die „Schwerpunktformel“

${}1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{n-1}=0\,.$

Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ für ${}n\leq 15$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix

${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{7}&\zeta ^{7}\\\zeta ^{5}&\zeta \end{pmatrix}}$

mit ${}\zeta ={\frac {1+{\mathrm {i} }}{\sqrt {2}}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\\zeta &-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

zur binären Oktaedergruppe gehört (dabei ist ${}\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel). Gehört sie auch zur binären Tetraedergruppe?

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe ${}120$ Elemente besitzt.