Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 8/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{M \subseteq N}{} kommutative Monoide. Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{M} }
{ =} { { \left\{ n \in N \mid \text{es gibt } k \in \N_+ \text{ mit } kn \in M \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Untermonoid von $N$ gegeben ist, das $M$ umfasst.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die kommutativen Monoide
\mathl{M=\N^r}{} und
\mathl{N={\mathbb N}^s}{.} Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von $M$ nach $N$ eindeutig durch eine Matrix (mit $r$ Spalten und $s$ Zeilen) mit Einträgen aus $\N$ bestimmt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Zeige, dass die zugehörige \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{} eine kommutative \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {M} {G } {} in eine Gruppe $G$ gibt es einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\tilde{\varphi}} {\Gamma} {G } {,} der $\varphi$ fortsetzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein kommutatives \definitionsverweis {Monoid}{}{} mit zugehöriger \definitionsverweis {Differenzengruppe}{}{}
\mathl{\Gamma=\Gamma(M)}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$M$ ist ein \definitionsverweis {Monoid mit Kürzungsregel}{}{.} }{Die kanonische Abbildung \maabb {} {M} {\Gamma(M)} {} ist injektiv. }{$M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Beweise die $R$-\definitionsverweis {Algebraiso\-mor\-phie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[\Z^n] }
{ \cong} { R[X_1 , \ldots , X_n]_{X_1 \cdots X_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe. Dann können wir den \definitionsverweis {Monoidring}{}{} $K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter $M$ ein $K[G]$-Modul. Zeige, dass \aufzaehlungzwei { $M$ nichts anderes ist als ein $K$-Vektorraum $V$ zusammen mit einem \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabb {\rho} { G} { \operatorname{Aut}_K(V) } {.} } {ein $K[G]$-Modulhomomorphismus \maabb {\varphi} {M} {M } {} eine $K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \rho(g) }
{ = }{ \rho \circ \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }

}
{Bemerkung: $\rho$ heißt dann eine \stichwort {Darstellung} {} von $G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als $G$ und man kann mit Hilfe von $\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über $G$ selbst gewinnen.} {}



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