Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 9

Aufwärmaufgabe

Aufgabe

Beschreibe

$K[X,Y,Z]/(XY-Z^{n})$

als Monoidring und als neutrale Stufe eines Polynomrings in einer geeigneten Graduierung.

Aufgabe

Bestimme das Monoid und den Monoidring, das durch den Kegel

${}C={\left\{av+bw\mid a,b\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}}\,$

mit ${}v={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ und ${}w={\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$ bestimmt ist. Finde eine Graduierung auf ${}K[X,Y]$ derart, dass der Monoidring der Ring der neutralen Stufe ist.

Aufgabe

Es sei ${}M\subseteq \Gamma =\mathbb {Z} ^{n}$ ein normales, spitzes Monoid, wobei ${}\Gamma$ das Differenzengitter zu ${}M$ sei. Es sei ${}C=\mathbb {R} _{\geq }M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ der zugehörige rationale Kegel. Zeige, dass bei ${}n=2$ dieser Kegel durch zwei Halbräume (bzw. Linearformen) beschreibbar ist, und dass bei ${}n=3$ jede Anzahl an Halbräumen ${}r\geq n$ auftreten kann.

Die beiden nächsten Aufgaben machen zwei Extremfälle von Satz 9.5  (4) explizit.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}d_{1},\ldots ,d_{r}$ seien ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung

$\mu _{\ell }{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(K\right)},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}t^{d_{1}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&t^{d_{2}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&t^{d_{r-1}}&0\\0&\cdots &\cdots &0&t^{d_{r}}\end{pmatrix}},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}\ell _{1},\ldots ,\ell _{a}$ natürliche Zahlen und ${}d_{1},\ldots ,d_{a+b}$ ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung

$\mu _{\ell _{1}}{\left(K\right)}\times \cdots \times \mu _{\ell _{a}}{\left(K\right)}\times {\left(K^{\times }\right)}^{b}\longrightarrow \operatorname {GL} _{1}\!{\left(K\right)}\cong K^{\times },\,(t_{1},\ldots ,t_{a+b})\longmapsto t_{1}^{d_{1}}\cdots t_{a+b}^{d_{a+b}},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme zur durch einen Gruppenhomomorphismus

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(3)$

bestimmten

${}\mathbb {Z} /(3)$- Graduierung auf ${}K[U,V]$ den Ring der neutralen Stufe in Abhängigkeit von ${}\delta$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine ${}\mathbb {Z}$- graduierte ${}K$- Algebra, auf der eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von homogenen ${}K$- Algebrahomomorphismen operiere. Zeige

${}{\left(A^{(s)}\right)}^{G}={\left(A^{G}\right)}^{(s)}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass der Veronese-Ring ${}K[U,V]^{(s)}$ als ${}K$- Algebra durch ${}s+1$ Elemente ${}Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{s}$ erzeugt wird derart, dass sämtliche ${}2\times 2$- Minoren der Matrix

${\begin{pmatrix}Z_{0}&Z_{1}&\ldots &Z_{s-2}&Z_{s-1}\\Z_{1}&Z_{2}&\ldots &Z_{s-1}&Z_{s}\end{pmatrix}}$

Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$ ein graduierter kommutativer Ring und es sei ${}A_{e}$ eine Stufe, die eine Einheit enthalte. Zeige, dass ${}A_{e}$ als ${}A_{0}$- Modul isomorph zu ${}A_{0}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids ${}M\subseteq \mathbb {N} ^{2}$, das nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Bestimme in der Situation von Aufgabe 9.5 den Invariantenring der zugehörigen Operation auf dem Polynomring.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die minimale Anzahl eines Erzeugendensystems für den Veronese-Ring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(s)}$.