Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Begründe, warum der Ring

$\mathbb {Z} [X,Y,Z,W]/(XY-ZW,5X^{8}-YZ^{3}+2WXY)$

noethersch ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei

${}{\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots \,$

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {a}}_{n}$ ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

$K[X_{n},\,n\in \mathbb {N} ]$

der Polynomring über ${}K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die Reduktion.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}n_{R}$ das Nilideal von ${}R$, das aus allen nilpotenten Elementen von ${}R$ besteht. Dann nennt man den Restklassenring ${}R/n_{R}$ die Reduktion von ${}R$.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.

Aufgabe *

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra, die als ${}K$- Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element ${}f\in A$ genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe

Es seien ${}K$ und ${}L$ Körper, es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}A$, ${}K\subseteq A\subseteq L$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann ${}A$ ebenfalls ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann ist ${}M$ genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette

$M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots$

von ${}R$- Untermoduln stationär wird.

Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$-Modul ${}M$ heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette

$M_{1}\supseteq M_{2}\supseteq M_{3}\supseteq \ldots$

von ${}R$-Untermoduln stationär wird.

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt artinsch, wenn er als ${}R$-Modul artinsch ist.

Aufgabe

Es sei ${}A$ ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ${}A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ der Durchschnitt von Primidealen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal mit dem Restklassenring

${}S=R/{\mathfrak {a}}\,.$

Zeige, dass die Ideale von ${}S$ eindeutig denjenigen Idealen von ${}R$ entsprechen, die ${}{\mathfrak {a}}$ umfassen.

Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ${}\mathbb {Q}$ keine Algebra von endlichem Typ über ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A=K[X,Y]$. Finde eine ${}K$- Unteralgebra von ${}A$, die nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme zum Ideal

${}I=(10,6x^{2}+8,4x^{3}-12)\,$

in ${}\mathbb {Z} [x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von ${}I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich. Zeige, dass sich jedes Element aus ${}R$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lässt.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ${}A$ ein kommutativer Ring und sei

$0\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow P\longrightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}A$-Moduln. Man zeige, dass ${}N$ genau dann artinsch ist, wenn ${}M$ und ${}P$ artinsch sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige: Wenn ${}M$ artinsch und ${}\phi :M\to M$ ${}R$-linear und injektiv ist, so ist ${}\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das ${}M$ noethersch ist.