Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ${}F\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ${}R_{F}\subseteq S_{F}$ ganz ist.

Aufgabe *

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine ${}R$- Algebra. Zeige, dass wenn ${}R$ ein Körper ist, die Begriffe algebraisch und ganz für ein Element ${}x\in A$ übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung ${}R\subseteq S$, wo es einen Nichtnullteiler ${}f\in R$ gibt, der ein Nullteiler in ${}S$ wird.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei $R_{i}\subseteq K,\,i\in I$, eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt ${}\bigcap _{i\in I}R_{i}$ normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ ist. Zeige, dass dann ${}R$ selbst schon ein Körper ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ ebenfalls normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Bereich. Zeige, dass jedes von ${}0$ verschiedene Primideal ein Primelement enthält.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ ganz über ${}R$ und ${}T$ ganz über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ ganz über ${}R$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}F\in K[X,Y]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring

$K[X,Y]/(F)$

eine endliche ${}K[T]$-Algebra ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}A$ eine endliche ${}K$-Algebra. Zeige: Dann ist ${}A$ artinsch.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Sei ${}f\in R$. Zeige, dass für das von ${}f$ erzeugte Hauptideal gilt:

${}R\cap (f)S=(f)R\,.$

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch der Polynomring ${}R[X]$ normal ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}a\in R$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}a$ keine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-a$ prim in ${}R[X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper ${}Q(R)$. Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}R$ ist normal.
2. Für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ normal.
3. Für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$ normal.

(Man sagt daher, dass normal eine lokale Eigenschaft ist.)

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}M\subseteq N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen Körper ${}K$ der Ringhomomorphismus ${}K[M]\subseteq K[N]$ genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ${}n\in N$ ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}kn\in M$ gibt.