Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 12

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe und ${}R$ ein ${}D$- graduierter Ring. Zeige, dass ${}R$ ganz über der neutralen Stufe ${}R_{0}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}R$ ein ${}D$- graduierter normaler Integritätsbereich. Zeige, dass dann auch die neutrale Stufe ${}R_{0}$ normal ist.

Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der symmetrischen Gruppe ${}S_{n}$ auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für die Variablen ${}X_{i}$ über dem Invariantenring.

Aufgabe

Begründe, dass ${}K[x,y]\subseteq K[x,y,z]/(xy-z^{n})$ endlich ist. Wie sieht es über ${}K[x,z]$ bzw. ${}K[y,z]$ aus?

Aufgabe

Begründe, dass ${}K[y,z]\subseteq K[x,y,z]/(x^{2}+yz^{2}+z^{m+1})$ endlich ist. Wie sieht es über ${}K[x,y]$ bzw. ${}K[x,z]$ aus?

Aufgabe

Wir betrachten die natürliche Operation der alternierenden Gruppe ${}A_{n}$ auf dem ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Für welche ${}n\in \mathbb {N}$ ist der Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{A_{n}}$ faktoriell?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}s\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme den Typ des ${}s$-ten Veronese-Ringes ${}K[U,V]^{(s)}$. Für welche ${}s$ handelt es sich um einen Gorenstein-Ring?

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, und es sei ${}V$ ein ${}R$- Modul. Eine Operation von ${}G$ auf ${}V$ als Gruppe von ${}R^{G}$- Modulautomorphismen heißt verträglich (bezüglich der Operation von ${}G$ auf ${}R$), wenn

${}(f\sigma )\cdot (v\sigma )=(f\cdot v)\sigma \,$

für alle ${}\sigma \in G$, ${}f\in R$ und ${}v\in V$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Es sei ${}V$ ein ${}R$- Modul, auf dem ${}G$ als Gruppe von ${}R^{G}$- Modulautomorphismen operiere, wobei die beiden Operationen verträglich seien. Zeige, dass der Fixmodul ${}V^{G}$ ein ${}R^{G}$-Modul.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich, der kein Körper sei. Zeige, dass die Krulldimension von ${}R$ gleich eins ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus zwischen den Integritätsbereichen ${}R$ und ${}S$. Die Krulldimension dieser Ringe sei endlich und gleich. Zeige, dass dann ${}\varphi$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring von endlicher Krulldimension ${}d$. Zeige, dass die Krulldimension des Polynomrings ${}R[X]$ mindestens ${}d+1$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen operiere. Es sei

$\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ein Charakter. Zeige, dass zu jedem ${}f\in R$ die Summe

$\sum _{\sigma \in G}{\frac {f\sigma }{\chi (\sigma )}}$

zu ${}R_{\chi }^{G}$ gehört.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R$ eine integre ${}K$- Algebra, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen operiere. Es sei

$\chi \colon G\longrightarrow K^{\times }$

ein Charakter und ${}R_{\chi }^{G}$ der zugehörige ${}R^{G}$- Modul der Semiinvarianten. Es sei ${}R_{\chi }^{G}\neq 0$ vorausgesetzt. Zeige, dass es einen ${}R^{G}$- Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon R^{G}\rightarrow R_{\chi }^{G}$ derart gibt, dass ${}\varphi$ nach Nenneraufnahme an einem Element ${}f\in R^{G}$, ${}f\neq 0$, ein Isomorphismus wird.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[U,V]$ sei mit der ${}\mathbb {Z} /(n)$- Graduierung versehen, bei der ${}U$ den Grad ${}1$ und ${}V$ den Grad ${}-1$ bekommt. Zeige, dass die Stufen ${}R_{d}$, ${}d\neq 0$, (als ${}R_{0}$- Moduln) nicht isomorph zu ${}R_{0}$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R=K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen. Zeige, dass ${}R$ die Krulldimension zwei besitzt.