Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 13

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ der Kern eines Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow K$ in einen Körper ${}K$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/I$ ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {a}}\neq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige: ${}{\mathfrak {a}}$ ist genau dann ein maximales Ideal, wenn es zu jedem ${}g\in R$, ${}g\not \in {\mathfrak {a}}$, ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ein ${}r\in R$ gibt mit ${}rg+f=1$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in ${}R$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M\subseteq R$ ein multiplikatives System mit ${}{\mathfrak {a}}\cap M=\emptyset$. Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ und mit ${}{\mathfrak {p}}\cap M=\emptyset$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass ${}{\mathfrak {a}}$ der Durchschnitt von Primidealen ist.

Vor den nächsten Aufgaben erinnern wir an den Begriff eines lokalen Ringes und einer Lokalisierung.

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also

${}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein lokaler Ring ist, wenn ${}a+b$ nur dann eine Einheit ist, wenn ${}a$ oder ${}b$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Beschreibe das Spektrum eines diskreten Bewertungsringes.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Beschreibe das Spektrum von

$K[X,Y]/(XY).$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, sei ${}f\in R$ und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}$ genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist der Restklassenring ${}S=R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(S)$ und ${}R_{\mathfrak {p}}$ ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$. Zeige, dass eine natürliche Isomorphie

${}Q(S)\cong R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\,$

vorliegt.

Den in der vorstehenden Aufgabe auf zweifache Weise konstruierten Körper nennt man auch den Restekörper in ${}{\mathfrak {p}}$. Er wird mit ${}\kappa {\left({\mathfrak {p}}\right)}$ bezeichnet.