Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 14

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$ . Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in ${}R_{S}$ genau denjenigen Primidealen in ${}R$ entsprechen, die mit ${}S$ einen leeren Durchschnitt haben.

Aufgabe

Beschreibe das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${}R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ .

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon R\longrightarrow S

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$ und es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen

R_{\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})}\longrightarrow S_{\mathfrak {p}}

(zwischen den Lokalisierungen) und

\kappa {\left(\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\right)}\longrightarrow \kappa {\left({\mathfrak {p}}\right)}

(zwischen den Restekörpern) gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$ - Algebren. Es sei

\varphi \colon R\longrightarrow S

ein ${}K$ - Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$ . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$ . Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$ , ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$ , gibt derart, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

R\longrightarrow R/{\mathfrak {n}}_{R}

eines kommutativen Ringes ${}R$ eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik ${}p>0$ . Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},

eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung ${}R\subseteq R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ .

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu ${}\mathbb {R} [X]\subseteq {\mathbb {C} }[X]$ .

Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem ${}{\mathbb {C} }$ -Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}{\mathbb {C} }$ - Algebra. Zeige, dass es auf dem ${}{\mathbb {C} }$ - Spektrum ${}{\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ eine natürliche Topologie (oder komplexe Topologie) gibt, die im Falle des Polynomringes ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit der metrischen Topologie auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ übereinstimmt. Zeige ferner, dass zu einem ${}{\mathbb {C} }$ - Algebrahomomorphismus ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ zwischen endlich erzeugten ${}{\mathbb {C} }$ -Algebren ${}R$ und ${}S$ die induzierte Abbildung

{\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}

stetig in der natürlichen Topologie ist.

Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Funktion

{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen

{}T\subseteq {\mathbb {C} }

beschränkt sind.

Aufgabe

Es seien ${}F_{1},\ldots ,F_{k}\in {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der Eigenschaft, dass der dadurch definierte ${}{\mathbb {C} }$ - Algebrahomomorphismus

{\mathbb {C} }[Y_{1},\ldots ,Y_{k}]\longrightarrow {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,Y_{j}\longmapsto F_{j},

ganz ist. Zeige, dass die zugehörige Abbildung

{\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{k},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})),

die Eigenschaft besitzt, dass Urbilder von beschränkten Teilmengen ${}T\subseteq {\mathbb {C} }^{k}$ wieder beschränkt sind.

Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung ${}F$ eigentlich ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass ${}F$ abgeschlossen ist.