Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 8

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}M\subseteq N$ kommutative Monoide. Zeige, dass durch

${}{\tilde {M}}={\left\{n\in N\mid {\text{es gibt }}k\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}kn\in M\right\}}\,$

ein Untermonoid von ${}N$ gegeben ist, das ${}M$ umfasst.

Aufgabe

Wir betrachten die kommutativen Monoide ${}M=\mathbb {N} ^{r}$ und ${}N={\mathbb {N} }^{s}$. Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von ${}M$ nach ${}N$ eindeutig durch eine Matrix (mit ${}r$ Spalten und ${}s$ Zeilen) mit Einträgen aus ${}\mathbb {N}$ bestimmt ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$ eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon \Gamma \longrightarrow G,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}M$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
2. Die kanonische Abbildung ${}M\rightarrow \Gamma (M)$ ist injektiv.
3. ${}M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[\mathbb {Z} ^{n}]\cong R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,$

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring ${}K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter ${}M$ ein ${}K[G]$-Modul. Zeige, dass

1. ${}M$ nichts anderes ist als ein ${}K$-Vektorraum ${}V$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus ${}\rho \colon G\rightarrow \operatorname {Aut} _{K}(V)$.
2. ein ${}K[G]$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine ${}K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich ${}\varphi \circ \rho (g)=\rho \circ \varphi$ für alle ${}g\in G$ gilt.

Bemerkung: ${}\rho$ heißt dann eine Darstellung von ${}G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als ${}G$ und man kann mit Hilfe von ${}\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über ${}G$ selbst gewinnen.