Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 10/latex

\setcounter{section}{10}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den \definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(2)}{,}
\mathl{\Z/(3)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{,}
\mathl{\Z/(7)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(13)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine ungerade \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{\Z/(p)}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige, dass das Produkt von zwei \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} niemals primitiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere einen Körper ${\mathbb F}_9$ mit $9$ Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in ${\mathbb F}_{ 9 }$ für jedes Element die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Man gebe insbesondere die \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $F$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen. Welche \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen
\mathl{\Z/(p^2)}{} und $F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von $K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei $R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von $R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rest von $44!$ modulo $47$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^{p-1}-1}{} in \definitionsverweis {irreduzible Polynome}{}{} im Polynomring
\mathl{\Z/(p)[X]}{.} Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den \definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(17)}{} und $\Z/(19)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere zu einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Konstruiere \definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{4,8,9,16,25,27,32}{} und $49$ Elementen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\mathbb F_9=\Z/(3)[Z]/(Z^2+1)$ der Körper mit $9$ Elementen \zusatzklammer {$z$ bezeichne die Restklasse von $Z$} {} {.} Führe in $\mathbb F_9[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^4+(1+2z)X^3+zX^2+2X+2+z} {und} {T=(z+1)X^2+zX+2} {} durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen Erzeuger der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} mit $25$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

}
{} {}