Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ der
\definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{}
des Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2+1
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_r
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
derart gibt, dass diese Polynome in
\mathl{L[X]}{} in Linearfaktoren zerfallen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$. Sei
\maabb {F} {K} {K
} {}
der
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} invariant unter $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von
\mathdisp {2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2 \in \Z/(3) [X]} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Die folgenden fünf Aufgaben waren schon mal Klausuraufgaben
\zusatzklammer {es gibt dazu auch Lösungen} {} {.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{\Z/(17)^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mathl{x \in \Z/(17) ^{\times}}{,} das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mathdisp {H \subseteq \Z/(17)
^{\times}} { }
an, die aus vier Elementen besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{x \in { \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{.} Es sei $a$ die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $x$ in der additiven Gruppe
\mathl{(\Z/(p),+,0)}{} und es sei $b$ die Ordnung von $x$ in der multiplikativen Gruppe
\mathl{({ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}, \cdot , 1)}{.} Zeige, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\mathbb F_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb F_q^{\times}$ ein Quadrat in $\mathbb F_q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe den
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit neun Elementen $\mathbb F_9$ als einen
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
von
\mathl{\Z/(3)[X]}{.} Man gebe eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} in $\mathbb F_9$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb F_8$ als einen Restklassenkörper von
\mathl{\Z/(2)[X]}{.} Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb F_8$ an.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{64,81,121,125}{} und
\mathl{128}{} Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e,d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige:
\mathl{{\mathbb F}_{ p^d }}{} ist genau dann ein Unterkörper von
\mathl{{\mathbb F}_{ p^e }}{}, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb F}_q$ der zugehörige
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb F}_{q^2}}{} jedes Element aus ${\mathbb F}_q$ ein Quadrat ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen Erzeuger der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} mit $27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das
\definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:}
\aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$.
}{Die Ableitung ist
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)'
}
{ =} {FG'+F'G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein Element
\mathl{a \in K}{} heißt \definitionswort {mehrfache Nullstelle}{} eines Polynoms
\mathl{P\in K[X]}{,} wenn in der Primfaktorzerlegung von $P$ das lineare Polynom
\mathl{X-a}{} mit einem Exponenten $\geq 2$ vorkommt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}
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