Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist, wenn alle \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} einelementig sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {konjugierte Elemente}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {x} {und} {y} {} die gleiche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mathl{H \subseteq Z}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} des \definitionsverweis {Zentrums}{}{} von $G$. Zeige, dass $H$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei \definitionsverweis {Permutationen}{}{}
\mathl{\sigma, \tau \in S_n}{} genau dann \definitionsverweis {konjugiert}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Zykeldarstellung}{}{} den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mathbed {\Q \subseteq K} {}
{K \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,} das zeigt, dass zu einem Element
\mathl{z=a+b { \mathrm i} \in K}{} die reellen Koordinaten \mathkor {} {a} {und} {b} {} nicht zu $K$ gehören müssen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{\Q \subseteq K}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und sei \maabbdisp {\kappa} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {} die komplexe Konjugation.

a) Zeige, dass
\mathl{\kappa(K) \subseteq K}{} gilt.

b) Zeige, dass
\mathl{\kappa {{|}}_K= \operatorname{Id}_{ K }}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{K \subseteq \R}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {erzeugte Unterkörper}{}{}
\mathl{\Q(z)}{} eine \definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{} von $\Q$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{} mit dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{.} Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von $F$ ebenfalls konstruierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine \definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{} mit dem \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von
\mathl{F}{} eine \definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{} von $\Q$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{K \subseteq L \subseteq M}{} \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{.} Es sei $F \in K[X]$ ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{,} dass über $M$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper $L$ enthalte keine Nullstelle von $F$. Folgt daraus, dass $F$ irreduzibel über $L$ ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mathbed {\Q \subseteq K} {}
{K \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,} derart, dass die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} sich nicht auf $K$ einschränken lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} in ${\mathbb C}$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} der Unterkörper, der aus allen \definitionsverweis {konstruierbaren Zahlen}{}{} in $L$ besteht. Zeige, dass für jeden \definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ \in }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \Q ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(K) }
{ \subseteq }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in L}{} Elemente, die eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bilden. Sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass auch
\mathl{xv_1 , \ldots , xv_n \in L}{} eine $K$-Basis von $L$ bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der konstante Koeffizient der \definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
\mathl{\Phi_{n}}{} immer $1$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n}{} \definitionsverweis {algebraische Zahlen}{}{.}

a) Zeige, dass es ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} derart gibt, dass man alle $\alpha_i$ als $\Q$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{} von Potenzen der Nullstellen von $F$ schreiben kann.

b) Zeige, dass es kein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} derart geben muss, dass alle $\alpha_i$ Nullstellen von $F$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$. Es sei
\mathl{z \in L}{} ein Element derart, dass
\mathbed {\varphi(z)} {}
{\varphi \in G} {}
{} {} {} {,} eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bildet. Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {F = \prod_{\varphi \in G} (X- \varphi(z))} { . }
Zeige, dass die Koeffizienten von $F$ zu $K$ gehören, dass $F$ in $K[X]$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist und dass $L$ der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$ über $K$ ist.

}
{} {}