Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist, wenn alle \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} einelementig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konjugierte Elemente}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
die gleiche
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mathl{H \subseteq Z}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {Zentrums}{}{}
von $G$. Zeige, dass $H$ ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zwei
\definitionsverweis {Permutationen}{}{}
\mathl{\sigma, \tau \in S_n}{} genau dann
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind, wenn ihre
\definitionsverweis {Zykeldarstellung}{}{}
den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mathbed {\Q \subseteq K} {}
{K \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,}
das zeigt, dass zu einem Element
\mathl{z=a+b { \mathrm i} \in K}{} die reellen Koordinaten
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
nicht zu $K$ gehören müssen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\Q \subseteq K}{} eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{}
und sei
\maabbdisp {\kappa} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
die komplexe Konjugation.
a) Zeige, dass
\mathl{\kappa(K) \subseteq K}{} gilt.
b) Zeige, dass
\mathl{\kappa {{|}}_K=
\operatorname{Id}_{ K }}{} genau dann gilt, wenn
\mathl{K \subseteq \R}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {erzeugte Unterkörper}{}{}
\mathl{\Q(z)}{} eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
von $\Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{.} Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von $F$ ebenfalls konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von
\mathl{F}{} eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
von $\Q$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{K \subseteq L \subseteq M}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{.}
Es sei $F \in K[X]$ ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{,}
dass über $M$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper $L$ enthalte keine Nullstelle von $F$. Folgt daraus, dass $F$ irreduzibel über $L$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mathbed {\Q \subseteq K} {}
{K \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,}
derart, dass die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
sich nicht auf $K$ einschränken lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
in ${\mathbb C}$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
der Unterkörper, der aus allen
\definitionsverweis {konstruierbaren Zahlen}{}{}
in $L$ besteht. Zeige, dass für jeden
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \Q )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(K)
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bilden. Sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xv_1 , \ldots , xv_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $K$-Basis von $L$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der konstante Koeffizient der
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
\mathl{\Phi_{n}}{} immer $1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n}{}
\definitionsverweis {algebraische Zahlen}{}{.}
a) Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} derart gibt, dass man alle $\alpha_i$ als
$\Q$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
von Potenzen der Nullstellen von $F$ schreiben kann.
b) Zeige, dass es kein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} derart geben muss, dass alle $\alpha_i$ Nullstellen von $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$. Es sei
\mathl{z \in L}{} ein Element derart, dass
\mathbed {\varphi(z)} {}
{\varphi \in G} {}
{} {} {} {,}
eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bildet. Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {F = \prod_{\varphi \in G} (X- \varphi(z))} { . }
Zeige, dass die Koeffizienten von $F$ zu $K$ gehören, dass $F$ in $K[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist und dass $L$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$ über $K$ ist.
}
{} {}
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