Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Was ist eigentlich ein \anfuehrung{Winkel}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt
\mathl{P \in K}{} gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} die Tangente an den Kreis durch $P$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \leq }{ 30
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal
\definitionsverweis {konstruierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe des verschobenen
Eisensteinkriteriums,
dass das Polynom
\mathl{X^3-3X-1}{} irreduzibel in $\Q[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $\Q[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt $P$ außerhalb des Kreises gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} eine der Tangenten an den Kreis, die durch $P$ läuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha
}
{ =} { 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus den
Additionstheoremen
für die trigonometrischen Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1
}
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $u$ ungerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es nicht für jede
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} einen
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
$K_n$ mit
\mathl{z \in K_n}{} gibt.
}
{} {}
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