Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere Lemma 14.2 für den Fall einer \definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $X^n-1$, also der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$ und es sei $G$ die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
der Erweiterung. Zeige, dass bei $n$ ungerade ein natürlicher injektiver
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {} {G} {S_{n-1}
} {}
und bei $n$ gerade ein natürlicher injektiver Gruppenhomomorphismus
\maabb {} {G} {S_{n-2}
} {}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungvier{Bestimme die Zerlegung von
\mathl{X^4-7}{} in ${\mathbb C}$.
}{Bestimme den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
$L$ von
\mathl{X^4 - 7 \in \Q[X]}{.}
}{Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von $X^4-7$ von der Galoisgruppe herrühren.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine weitere Körpererweiterung. Es sei $E$ die Menge der
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
von $L$ nach $M$. Zeige, dass die Zuordnung
\maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \,( E)
} {\varphi} { ( \iota \mapsto \iota \circ \varphi )
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und $G$ eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen von $M$ nach $M$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass jedes
\mathl{\varphi \in G}{} die Menge $T$ in sich selbst überführt. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {G} { \operatorname{Perm} \,( T)
} {\varphi} { \varphi {{|}}_T
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist. Man gebe Beispiel für solche Situationen, wo $\psi$
\zusatzklammer {nicht} {} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
\zusatzklammer {nicht} {} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
des $\R^n$ eine Selbstabbildung der
\mathl{(n-1)}{-}dimensionalen Sphäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S^{n-1}
}
{ =} { { \left\{ P\in \R^n \mid \Vert {P} \Vert = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Wirkungsweise der \definitionsverweis {eigentlichen Würfelgruppe}{}{} auf der Menge der Ecken, der Kantenmenge, der Menge der Seitenmittelpunkte, der Raumdiagonalen durch geeignete Gruppenhomorphismen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Menge
\mathl{\mu_4({\mathbb C})}{} der vierten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in ${\mathbb C}$. Welche sind untereinander über $\Q$
\definitionsverweis {konjugiert}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
und seien
\mathl{f,g \in L}{}
\definitionsverweis {konjugierte Elemente}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N(f)
}
{ = }{N(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S(f)
}
{ = }{S(g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die $n$ Vektoren
\zusatzklammer {im ${\mathbb C}^n$} {} {}
\mathbeddisp {(1,\zeta,\zeta^2 , \ldots , \zeta^{n-1})} {}
{\zeta \in \mu_n({\mathbb C})} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe mit dem
Lemma von Dedekind,
dass die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}} { }
den
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$4$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ e^{ \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
$(n \times n)$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {(( \zeta^{r+s})_{0 \leq r,s \leq n-1})} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1,2,3,4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galois\-erweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_2 \subseteq {\mathbb F}_4}{} eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_2(X) \subseteq {\mathbb F}_2 (X)[T]/(T^2-X)}{} keine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\mu_n(L)}{}
\zusatzklammer {zu \mathlk{n \in \N_+}{}} {} {}
die Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in $L$. Zeige, dass es zu jedem $n$ einen
\definitionsverweis {natürlichen}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) } { \operatorname{Aut} \, (\mu_n(L))
} {}
gibt.
}
{} {}
Bei einer endlichen Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man jeden $K$-Algebraau\-tomorphismus von $L$
\zusatzgs {also jedes Element der Galoisgruppe} {}
als eine bijektive
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {L \cong K^n} {L \cong K^n
} {}
auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Verfügung.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{G= \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {G} { K^{\times}
} {\varphi} { \det \varphi
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ eine endliche
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{D^{ \vee }}{} in einen Körper $K$. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { D^{ \vee } } { K^{\times}
} {\chi} { \prod_{d \in D} \chi(d)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L[X]} {L[X] } {\sum_{i = 0}^n a_iX^i } {\sum_{i = 0}^n \varphi(a_i)X^i } {,} ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} des Polynomrings $L[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $D$ eine endliche
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und sei
\mathl{K\subseteq L}{} eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.}
Beweise für
\mathl{\chi \in D^{ \vee }}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{d \in D} \chi (d)
}
{ =} { \det \varphi_\chi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\varphi_\chi$ den zugehörigen $K$-Automorphismus von $L$ bezeichnet
\zusatzklammer {siehe
Lemma 12.15} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die Menge
\mathl{\mu_8({\mathbb C})}{} der achten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in ${\mathbb C}$. Welche sind untereinander über $\Q$
\definitionsverweis {konjugiert}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $D$ eine endliche
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mathl{D^{ \vee }}{} mit Werten in einem Körper $K$.
a) Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\psi} { D^{ \vee } } { K^{\times} } {\chi} { \prod_{d \in D} \chi(d) } {,} nur die Werte \mathkor {} {1} {und} {-1} {} annehmen kann.
b) Es sei vorausgesetzt, dass
\mathl{K}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält. Zeige, dass $\psi$ genau dann den Wert $-1$ annimmt, wenn
\mathl{n}{} gerade ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die in $\Q$ keine dritte Wurzel besitzt, sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{\Q[X]/(X^3-q)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
vom Grad $3$ ist. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3-q}{} in
\mathl{L}{} genau eine Nullstelle hat und dass diese Körpererweiterung nicht
\definitionsverweis {galoissch}{}{}
ist.
}
{} {}