Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ein
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{.}
Es sei $\lambda$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$. Zeige, dass $\lambda$ eine
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\delta \in G^{ \vee }}{} ein
\definitionsverweis {Charakter}{}{}
auf der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{G = \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Man mache sich die Gleichheit
\mathdisp {L_\delta = { \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = \delta(\varphi) \cdot x \text{ für alle } \varphi \in G \right\} } = \bigcap_{\varphi \in G} \operatorname{Eig}_{ \delta(\varphi) } { \left( \varphi \right) }} { }
klar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb F}_{125}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb F}_{ p^p }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(13)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ 2197 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Kummererweiterung}{}{}
zum Exponenten $3$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Matrizen zu sämtlichen \definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{} in Beispiel 17.9 bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.} Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,} wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei. Zeige, dass es ein Element
\mathl{v \in L}{} derart gibt, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ \varphi(v) \mid \varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right\} }} { }
eine $K$-Basis von $L$ bildet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{D= \Z/(n)}{} und sei $K$ ein Körper, der eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
$\zeta$ enthält. Es sei
\mathl{L}{} eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{}
von $K$. Beschreibe die Matrizen der
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
auf $L$
\zusatzklammer {also die Elemente der Galoisgruppe $\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )$} {} {}
bezüglich einer geeigneten $K$-Basis von $L$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungsechs{Bestimme den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
$L$ zum Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4-7
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Was ist der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{
Ist die Körpererweiterung graduierbar
\zusatzklammer {mit welcher graduierenden Gruppe} {?} {.}
}{Was sind die
\definitionsverweis {homogenen Automorphismen}{}{,}
welche Gruppe bilden sie?
}{Ist die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \Q )}{} abelsch?
}{Handelt es sich um eine
\definitionsverweis {Kummererweiterung}{}{}
\zusatzklammer {zu welchem Exponenten} {} {?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\zeta_n \in {\mathbb C}}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \Q[\zeta_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Kreisteilungskörper. Zeige, dass es
\definitionsverweis {galoissche Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{F,G \in \Z[X]}{}
\definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mathl{F=GH}{} ist mit
\mathl{H \in \Q[X]}{.} Zeige, dass
\mathl{H \in \Z[X]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise das \anfuehrung{verschobene Eisensteinkriterium}{.} Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms
\mathl{P \in \Q[X]}{,} wo man die
\definitionsverweis {Irreduzibilität}{}{}
nicht mit dem
Eisensteinkriterium,
aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise das \stichwort {umgekehrte Eisensteinkriterium} {,} bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die \definitionsverweis {Irreduzibilität}{}{} der folgenden Polynome aus $\Q[X]$ nachzuweisen. \aufzaehlungdrei{ $X^4+2X^2+2$, }{ $20X^5-15X^4+125X^3-10X+4$, }{ $X^4+9$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe des verschobenen
Eisensteinkriteriums,
dass das Polynom
\mathl{X^3-3X-1}{} irreduzibel in $\Q[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $\Q[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein Polynom der Form
\mathl{X^n-p^2 \in \Q[X]}{} mit einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ im Allgemeinen nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass die Polynome
\mathl{X^n -p \in \Q[X]}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Betrachte das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 +X +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {x^6-5x^5+11x^4-13x^3+9x^2-3x+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $\Q[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme, ob die beiden folgenden Polynome in
\mathl{\Q[x,y]}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sind.
a)
\mathl{y^4+ 3 x^2 y^2 + 4 x^7 y + 2 x}{.}
b)
\mathl{y^6 + 3 x y^4 + 3 x^2 y^2 + x^3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
und die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb F}_{343}}{.}
}
{} {}