Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {endliche Menge}{}{}
und $T \subseteq M$ eine Teilmenge, und es seien
\mathkor {} {\operatorname{Perm} \,( T)} {und} {\operatorname{Perm} \,( M)} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {\Psi} { \operatorname{Perm} \,( T) } { \operatorname{Perm} \,( M)
} {\varphi} { \tilde{\varphi }
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\varphi} (x)
}
{ =} { \begin{cases} \varphi(x),\, \text{falls } x \in T, \\ x \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zwei \definitionsverweis {Permutationen}{}{} mit disjunktem \definitionsverweis {Wirkungsbereich}{}{} \definitionsverweis {vertauschbar}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und sei $\sigma$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$ und
\mathl{x \in M}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left\{ n \in \Z \mid \sigma^n(x)=x \right\} }}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $\Z$ ist. Den eindeutig bestimmten nichtnegativen Erzeuger dieser Untergruppe bezeichnen wir mit
\mathl{\operatorname{ord}_{x} {\sigma}}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (\sigma)
}
{ =} {\operatorname{kgV} { \left\{ \operatorname{ord}_{x} {\sigma} \mid x \in M \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
der Ordnung $6$. Für welche
\mathl{n \in \N}{} lässt sich $G$ als Untergruppe der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_n$ realisieren?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die endliche Permutationsgruppe $S_n$ zu einer Menge mit $n$ Elementen.
a) Zeige, dass es in $S_n$ Elemente der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ gibt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine Permutationsgruppe $S_n$ und einem Element darin, dessen Ordnung größer als $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in
Lemma 23.1
die Voraussetzung, dass die beiden Teilmengen
\mathl{T_1,T_2}{} nicht disjunkt sind, wesentlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_n
}
{ \subseteq }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mathl{n \geq 3}{} eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für jede Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{S_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_4$, ob es sich um eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
handelt oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_n$. Zeige, dass $G$ genau dann eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
ist, wenn es ein Element
\mathl{z \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} derart gibt, dass es zu jedem Element
\mathl{w \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} eine Permutation $\pi \in G$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi (z)
}
{ = }{w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_n$. Zeige, dass $G$ genau dann keine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
ist, wenn es eine echte Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ =} { S \uplus T
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq} { \operatorname{Perm} \,( S) \times \operatorname{Perm} \,( T)
}
{ \subseteq} {S_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_n$. Zeige, dass auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} durch
\mathl{x \sim_G y}{,} falls es ein
\mathl{\pi \in G}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi(x)
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zumindest $n$ Elemente besitzt.
} {Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit genau $n$ Elementen gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {separables}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Es sei $L$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$, $G= \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )$ seine
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} und
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_n}{} die Nullstellen von $F$ in $L$. Nach
Lemma 14.2
ist $G$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} der Nullstellen. Zeige, dass es sich um eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{} handelt.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe zeigt, dass man in
Lemma 23.4
auf die Voraussetzung, dass der Grad des Polynoms eine Primzahl ist, nicht verzichten kann.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein irreduzibles Polynom
\mathl{F \in \Q[X]}{} vom Grad $4$ an, das in ${\mathbb C}$ genau zwei reelle Nullstellen hat und dessen Galoisgruppe nicht die $S_4$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $a$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^5 +a^2X^4 -a
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \R \cap L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Handelt es sich um eine Galoiserweiterung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $a$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^5 +a^2X^4 -a
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$. Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_5}{} die Nullstellen von $F$ in ${\mathbb C}$.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mathdisp {\sum_{ i = 1}^5 \alpha_i \text{ und } \prod_{ i = 1}^5 \alpha_i} { }
rationale Zahlen sind.
}{Zeige, dass
\mathdisp {\prod_{ 1 \leq i < j \leq 5} { \left( \alpha_i - \alpha_j \right) }} { }
zu $L^{A_n}$ gehört, aber nicht zu $\Q$.
}{Zeige, dass
\mathdisp {\prod_{ 1 \leq i < j \leq 5} { \left( \alpha_i - \alpha_j \right) }^2} { }
eine rationale Zahl ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{n \geq 2}{} keine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass es eine echte
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{H \subset S_n}{} gibt, die
\definitionsverweis {transitiv}{}{} ist und die mindestens eine
\definitionsverweis {Transposition}{}{}
enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Eliminiere in
\mathl{X^5+a^2X^4-a}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \in \Q}{}} {} {}
durch eine geeignete Substitution
\zusatzklammer {einen Variablenwechsel} {} {}
den Term zum Grad $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$ und seien
\mathl{\alpha, \beta, \gamma \in {\mathbb C}}{} die Nullstellen von $F$. Zeige, dass die Differenzen
\mathkor {} {\alpha - \beta} {und} {\beta- \gamma} {}
nicht beide aus $\Q$ sein können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom Grad $3$. Zeige, dass die Nullstellen von $F$ in ${\mathbb C}$ nicht die Form
\mathl{\alpha, \alpha^2, \alpha^3}{}
\zusatzklammer {mit einem
\mathl{\alpha \in {\mathbb C}}{}} {} {} haben können.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} vom Grad $4$ gibt, dessen Nullstellen in ${\mathbb C}$ die Form
\mathl{\alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4}{} besitzen.
}
{} {}