Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die Menge der
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
\mathl{n\times n}{-}Matrizen über einem Körper $K$. Zeige, dass für zueinander
\definitionsverweis {konjugierte}{}{}
Matrizen
\mathkor {} {M} {und} {N} {} aus
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,}
die Dimension der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
zu einem Eigenwert, die
\definitionsverweis {Diagonalisierbarkeit}{}{,}
die
\definitionsverweis {Trigonalisierbarkeit}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$R$ auf $G$, wobei $xRy$ bedeutet, dass es einen
\definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{}
$\kappa_g$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{\kappa_g(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige, dass diese Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:
Zu einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ nennt man die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} bei der zwei Elemente als äquivalent \zusatzklammer {oder \definitionswort {konjugiert}{}} {} {} gelten, wenn sie durch einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} ineinander überführt werden können, die \definitionswort {Konjugationsklassen}{.}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungvier{Bestimme die
\definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{}
auf der Drehgruppe
\mathl{\operatorname{SO}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{.}
}{Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente
\mathl{\varphi \in \operatorname{SO}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{} innerhalb von
\mathl{\operatorname{O}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{.}
}{Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente
\mathl{\varphi \in \operatorname{SO}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{} innerhalb von
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{.}
}{Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente
\mathl{\varphi \in \operatorname{SO}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{} innerhalb von
\mathl{\operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{.}
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
} {\pi} { M_\pi
} {,}
der jeder
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
$\pi$ die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
zuordnet. Zeige, dass zwei Permutationen $\pi,\rho$ genau dann
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
in $S_n$ sind, wenn ihre zugehörigen Permutationsmatrizen
\mathl{M_\pi,M_\rho}{}
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(N)}{} eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mathl{N \subseteq H}{} ein Normalteiler in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Durchschnitt von
\definitionsverweis {Normalteilern}{}{}
\mathbed {N_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ ein Normalteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Ist das Bild von $\varphi$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $H$?
}
{} {}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_n
}
{ \defeq} {{ \left\{ \sigma \in S_n \mid \operatorname{sgn}(\sigma) = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {geraden Permutationen}{}{}
die \definitionswort {alternierende Gruppe}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob die \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{} $A_n$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in der \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} $S_n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{n\in \N_+}{,}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {invertierbaren Matrizen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ \subseteq} {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Untergruppe der Matrizen mit Determinante $1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse
\zusatzklammer {und auch die Rechtsnebenklasse} {} {}
zu
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit
\mathl{\det M}{} übereinstimmt.
Zeige auf möglichst viele Weisen, dass
\mathl{\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel von drei \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} $F \subseteq G \subseteq H$ an derart, dass $F$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ und $G$ ein Normalteiler in $H$, aber $F$ kein Normalteiler in $H$ ist.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird das \stichwort {Zentrum} {} einer Gruppe verwendet.
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Das \definitionswort {Zentrum}{} $Z=Z(G)$ von $G$ ist die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z
}
{ =} { { \left\{ g \in G \mid gx=xg \text{ für alle } x \in G \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mathl{H \subseteq Z}{} eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {Zentrums}{}{}
von $G$. Zeige, dass $H$ ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Zentrum}{}{}
\mathl{Z \subseteq G}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\kappa} {G} {\operatorname{Aut} \, (G)
} {g} {\kappa_g
} {.}
Was ist das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {M
} {}
eine surjektive Abbildung mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(gh)
}
{ = }{\varphi(g) \varphi(h)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{g,h \in G}{.} Zeige, dass $M$ eine Gruppe
und $\varphi$ ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $G$ und $H$ \definitionsverweis {Gruppen}{}{} mit der \definitionsverweis {Produktgruppe}{}{} $G \times H$. Zeige, dass die Gruppe $G \times \{ e_H \}$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G \times H$ ist, und dass die Restklassengruppe $(G \times H)/G \times \{ e_H \}$ kanonisch \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G_1} {und} {G_2} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und seien
\mathl{N_1 \subseteq G_1}{} und
\mathl{N_2 \subseteq G_2}{}
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{N_1 \times N_2}{} ein Normalteiler in
\mathl{G_1 \times G_2}{} ist und dass eine
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(G_1 \times G_2)/(N_1 \times N_2)
}
{ \cong} { (G_1/N_1) \times (G_2/N_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für jede reelle Zahl
\mathl{a \neq 0}{} die
\definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{}
\mathl{\R/\Z a}{} untereinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Restklassengruppe zu
\mathl{\{ 1, -1\} \subset \R^{\times}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es in der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{\Q/\Z}{} zu jedem
\mathl{n \in \N_+}{} Elemente gibt, deren
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es keine Untergruppe
\mathl{F \subseteq (\Q,0,+)}{} derart gibt, dass
\maabbdisp {} {F} { \Q/\Z
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $g \in G$ ein Element mit dem \zusatzklammer {nach Lemma 4.4} {} {} zugehörigen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {G } {n} {g^n } {.} Beschreibe die kanonische Faktorisierung von $\varphi$ gemäß Satz 5.12.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass \definitionsverweis {zyklische Gruppen}{}{} mit der gleichen \definitionsverweis {Ordnung}{}{} isomorph sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $S_3$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge
\mathl{\{1,2,3\}}{} in sich selbst. Bestimme die
\definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{}
dieser Gruppe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $\Z/(p)$ die
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
mit $p$ Elementen. Finde eine Gruppe $G$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(p)
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
ist und dass in $G$ je zwei von $0$ verschiedene Elemente aus $\Z/(p)$ zueinander
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} der \zusatzklammer {eigentlichen} {} {} \definitionsverweis {Würfelgruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein surjektiver
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$\varphi(N)$ eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mathl{N \subseteq G}{} ein Normalteiler in $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei in einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} in $G$ ist.
}
{} {}