Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
In den nächsten drei Vorlesungen möchten wir auflösbare Körpererweiterungen galoistheoretisch charakterisieren und insbesondere zeigen, dass nicht jede Körpererweiterung auflösbar ist, also sich nicht jedes Polynom durch \zusatzklammer {sukzessive} {} {} Radikale \zusatzklammer {auf} {} {} lösen lässt. In dieser Vorlesung bereiten wir dazu das gruppentheoretische Fundament.
\zwischenueberschrift{Auflösbare Gruppen}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ heißt \definitionswort {auflösbar}{,} wenn es eine Filtrierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{e\}
}
{ =} {G_0
}
{ \subseteq} { G_1
}
{ \subseteq} { G_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { G_{k-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} {G_k
}
{ =} {G
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
derart gibt, dass $G_{i}$ ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in
\mathl{G_{i+1}}{} ist und die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G_{i+1}/G_{i}}{}
\definitionsverweis {abelsch}{}{}
ist
\zusatzklammer {für jedes \mathlk{i=0 , \ldots , k-1}{}} {} {.}
}
Die in dieser Definition auftretende Filtrierung nennt man auch eine \stichwort {auflösende Filtrierung} {.} Eine kommutative Gruppe ist natürlich auflösbar, wie die triviale Filtrierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \{e\}
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigt. Die Permutationsgruppe $S_3$ ist auflösbar, wie die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(3)
}
{ \cong }{ A_3
}
{ \subset }{ S_3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Restklassengruppe
\mathl{\Z/(2)}{} zeigt.
\inputfaktbeweis
{Auflösbare Gruppe/Untergruppe ebenfalls/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {auflösbare Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch jede
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auflösbar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir gehen von einer auflösenden Filtrierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{e\}
}
{ =} {G_0
}
{ \subseteq} { G_1
}
{ \subseteq} { G_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { G_{k-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} {G_k
}
{ =} {G
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
aus, d.h., dass die $G_i$ \definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in
\mathl{G_{i+1}}{} und die Restklassengruppen
\mathl{G_{i+1}/G_i}{} kommutativ sind. Die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_i
}
{ = }{ H \cap G_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine induzierte Filtrierung. Dabei liegt das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}
H \cap G_i & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H \cap G_{i+1}
& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ G_i & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G_{i+1}
& \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor. Wir betrachten den Homomorphismus
\maabbdisp {f} {H \cap G_{i+1}} { G_{i+1} /G_i
} {.}
Der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $f$ ist offenbar
\mathl{H \cap G_i}{.} Daher ist $H_i$ nach
Lemma 5.6
ein Normalteiler in
\mathl{H_{i+1}}{,} und der Quotient
\mathl{H_{i+1}/H_i}{} ist nach
Satz 5.12
eine Untergruppe von
\mathl{G_{i+1}/G_i}{} und damit kommutativ. Also bilden die $H_i$ eine auflösende Filtrierung von $H$.
\inputfaktbeweis
{Auflösbare Gruppe/Kurze exakte Sequenz/Kriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
und
\mathl{G/N}{} die zugehörige
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $G$ genau dann
\definitionsverweis {auflösbar}{}{,}
wenn dies für
\mathkor {} {N} {und} {G/N} {}
gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst $G$
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}
Nach
Lemma 21.2
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{N
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auflösbar.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Betrachten wir also die Restklassengruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{G/N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und fixieren wir eine
\definitionsverweis {auflösende Filtrierung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{e\}
}
{ =} { G_0
}
{ \subseteq} { G_1
}
{ \subseteq} { G_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { G_{k-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} { G_k
}
{ =} { G
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {q} {G} {H
} {}
der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_i
}
{ = }{q(G_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dies ist eine Filtrierung von $H$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}
G_i & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G_{i+1}
& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ H_i & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H_{i+1}
& \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass $H_i$ ein Normalteiler in
\mathl{H_{i+1}}{} ist, und ziehen dazu
Lemma 5.4
heran. Es sei also
\mathl{h \in H_i}{} und
\mathl{x \in H_{i+1}}{,} die wir durch
\mathl{\tilde{h} \in G_i}{} bzw.
\mathl{\tilde{x} \in G_{i+1}}{} repräsentieren. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xhx^{-1}
}
{ = }{q { \left( \tilde{x} \tilde{h} \tilde{x}^{-1} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Normalität von $G_i$ in
\mathl{G_{i+1}}{} ist
\mathl{\tilde{x} \tilde{h} \tilde{x}^{-1} \in G_i}{} und somit
\mathl{xhx^{-1} \in H_i}{.} Wir betrachten die
\definitionsverweis {zusammengesetzte}{}{}
surjektive Abbildung
\mathdisp {G_{i+1} \longrightarrow H_{i+1} \longrightarrow H_{i+1}/H_i} { . }
Da $G_i$ zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von
Satz 5.10
eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {} {G_{i+1}/G_i} {H_{i+1}/H_i
} {,}
weshalb
\mathl{H_{i+1}/H_i}{} ebenfalls kommutativ ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es seien nun
\mathkor {} {N} {und} {H=G/N} {}
auflösbar, sei
\maabb {q} {G} {G/N
} {}
der Restklassenhomomorphismus und seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{e\}
}
{ =} { N_0
}
{ \subseteq} { N_1
}
{ \subseteq} { N_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { N_{k-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} { N_k
}
{ =} { N
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \{e\}
}
{ =} { H_0
}
{ \subseteq} { H_1
}
{ \subseteq} { H_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { H_{\ell-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} { H_\ell
}
{ =} { H
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von $N$ durch die Urbilder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_j
}
{ = }{ q^{-1} (H_j)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer Filtrierung von $G$. Die surjektive Abbildung
\mathdisp {G_{j+1} \longrightarrow H_{j+1} \longrightarrow H_{j+1}/H_j} { }
besitzt den Kern $G_j$ und zeigt, dass $G_j$ ein Normalteiler in
\mathl{G_{j+1}}{} mit kommutativer Restklassengruppe ist.}
{}
Die Definition einer auflösbaren Gruppe legt nicht nahe, wie man eine solche Filtrierung finden könnte. Ein systematischer Weg, eine solche Filtrierung zu finden, falls es denn eine gibt, wird durch iterierte Kommutatorgruppen gegeben. Ein Kommutator ist ein Element der Form
\mathl{aba^{-1}b^{-1}}{.}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ heißt die von allen
\definitionsverweis {Kommutatoren}{}{}
\mathbed {aba^{-1}b^{-1}} {}
{a,b \in G} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{}
die \definitionswort {Kommutatorgruppe}{} von $G$. Sie wird mit
\mathl{K(G)}{} bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mathl{K(G)}{} ihre
\definitionsverweis {Kommutatorgruppe}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$K(G)$ ist ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$.
}{Die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/K(G)}{} ist
\definitionsverweis {abelsch}{}{.}
}{Die Gruppe $G$ ist genau dann abelsch, wenn
\mathl{K(G)}{} trivial ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es ist zu zeigen, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {G} {G
} {g} {xgx^{-1}
} {,}
die Untergruppe
\mathl{K(G)}{} in sich selbst überführt. Für einen Kommutator
\mathl{aba^{-1}b^{-1}}{} ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ x aba^{-1}b^{-1} x^{-1}
}
{ =} { { \left( xax^{-1} \right) } { \left( xbx^{-1} \right) } { \left( x a^{-1} x^{-1} \right) } { \left( xb^{-1} x^{-1} \right) }
}
{ =} { { \left( xax^{-1} \right) } { \left( xbx^{-1} \right) } { \left( x a x^{-1} \right) }^{-1} { \left( xbx^{-1} \right) }^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
wieder ein Kommutator. Daher wird auch jedes Produkt von Kommutatoren auf ein Produkt von Kommutatoren abgebildet und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{xK(G)x^{-1}
}
{ \subseteq }{ K(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). In der Restklassengruppe
\mathl{G/K(G)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [a] [b]
}
{ =} { [a][b] [b^{-1} a^{-1} ba]
}
{ =} { [a][b] [b^{-1}][ a^{-1}][ b][a]
}
{ =} { [b][a]
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn sämtliche Kommutatoren trivial sind.}
{}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Die $i$-te \definitionswort {iterierte Kommutatoruntergruppe}{} wird induktiv durch
\mathdisp {K^{0}(G)= G \text{ und } K^{i}(G)= K( K^{i-1}(G))} { }
definiert.
}
Die erste Kommutatorgruppe ist einfach die Kommutatorgruppe, die zweite Kommutatorgruppe ist die Kommutatorgruppe der Kommutatorgruppe, u.s.w. Dies ergibt insgesamt eine absteigende Filtrierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ \supseteq} { K(G)
}
{ \supseteq} { K^2(G)
}
{ \supseteq} { K^3(G)
}
{ \supseteq \ldots} { \,
}
}
{}{}{.}
Diese Filtrierung kann unendlich absteigend sein oder aber stationär werden, d.h. es kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K^i(G)
}
{ = }{ K^{i+1}(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten. Die Auflösbarkeit einer Gruppe kann mit dieser Filtrierung folgendermaßen charakterisiert werden.
\inputfaktbeweis
{Auflösbare Gruppe/Kommutatorkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ ist genau dann
\definitionsverweis {auflösbar}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn es ein $i$ derart gibt, dass die $i$-te iterierte Kommutatorgruppe
\mathl{K^{i}(G)}{} trivial wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Filtrierung der
\definitionsverweis {iterierten Kommutatorgruppen}{}{}
trivial wird, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ \supseteq} { K(G)
}
{ \supseteq} { K^{2}(G)
}
{ \supseteq \ldots \supseteq} { K^{i-1}(G)
}
{ \supseteq} { K^{i}(G)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \{e\}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
so liegt unmittelbar eine
\definitionsverweis {auflösende Filtrierung}{}{}
vor, da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K^{j+1} (G)
}
{ =} {K(K^{j}(G))
}
{ \subseteq} { K^{j}(G)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 21.5
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
ist mit einer
\definitionsverweis {abelschen}{}{}
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $G$
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}
Wir zeigen durch Induktion über die Anzahl $k$ der beteiligten Untergruppen in einer auflösenden Filtrierung von $G$, dass die Filtrierung der iterierten Kommutatorgruppen trivial wird. Dabei sind die Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar. Wir betrachten die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_{k-1}
}
{ \subset }{ G_k
}
{ = }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Filtrierung. Da die Restklassengruppe
\mathl{G/G_{k-1}}{} kommutativ ist, wird die Kommutatorgruppe
\mathl{K(G)}{} unter der Restklassenabbildung auf $0$ abgebildet und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K(G)
}
{ \subseteq }{ G_{k-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei besitzt natürlich
\mathl{G_{k-1}}{} eine auflösende Filtrierung mit
\mathl{k-1}{} Untergruppen, und der Beweis zu
Lemma 21.2
zeigt, dass dies auch für die Untergruppe
\mathl{K(G)}{} gilt. Nach Induktionsvoraussetzung wird also die Filtrierung von
\mathl{K(G)}{} durch die iterierten Kommutatorgruppen trivial.}
{}
{Endliche Permutationsgruppe/n höchstens 4/Auflösbarkeit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {sind die
\definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{} $S_n$
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 21.9. }
\inputfaktbeweis
{Endliche Permutationsgruppe/n mindestens 5/Unauflösbarkeit/Direkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {sind die
\definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{}
$S_n$ nicht
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten eine Filtrierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_0
}
{ \subseteq} {G_1
}
{ \subseteq} {G_2
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { G_{k-1}
}
{ \subseteq} {G_k
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { S_n
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
derart, dass die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_i
}
{ \subseteq }{G_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
sind mit
\definitionsverweis {kommutativen}{}{}
\definitionsverweis {Restklassengruppen}{}{.}
Wir werden zeigen, dass jedes $G_i$ sämtliche Dreierzykel
\zusatzklammer {also Permutationen, bei denen drei Elemente zyklisch vertauscht werden, und alle übrigen festgelassen werden} {} {,}
enthält. Daher kann diese Filtrierung nicht bei der trivialen Gruppe enden, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_0
}
{ \neq }{\{ e\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Aussage über die Dreierzykel beweisen wir durch
\definitionsverweis {absteigende Induktion}{}{,} wobei der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_k
}
{ = }{S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar ist. Es sei also vorausgesetzt, dass
\mathl{G_{i+1}}{} alle Dreierzykel enthält. Es sei
\mathl{\langle z_1 , z_2, z_3 \rangle}{} ein Dreierzyklus
\zusatzklammer {mit verschiedenen Elementen \mathlk{z_1 , z_2, z_3 \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}} {} {}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es noch zwei weitere Elemente
\mathl{x,y \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{,} die von
\mathl{z_1 , z_2, z_3}{} und untereinander verschieden sind. Nach Induktionsvoraussetzung gehören die Dreierzykel
\mathdisp {\sigma = \langle z_1 , z_2, x \rangle \text{ und } \tau = \langle z_1, z_3, y \rangle} { }
zu
\mathl{G_{i+1}}{.} Eine elementare Überlegung zeigt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle z_1 , z_2, z_3 \rangle
}
{ =} { \langle z_3 , y , z_2 \rangle \circ \langle z_1, y , z_3 \rangle
}
{ =} { (\sigma \tau \sigma^{-1}) \circ \tau^{-1}
}
{ =} { \sigma \tau \sigma^{-1} \tau^{-1}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieses Element wird unter der Restklassenabbildung
\maabbdisp {} {G_{i+1}} {G_{i+1} /G_i
} {}
auf das neutrale Element abgebildet, da ja die Restklassengruppe kommutativ ist. Also ist
\mathl{\langle z_1 , z_2, z_3 \rangle \in G_{i}}{.}