Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 3

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}x\in L$ ein Element. Dann sind die Potenzen ${}x^{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$, linear abhängig, und das bedeutet, dass es Koeffizienten ${}a_{i}\in K$ mit ${}a_{n}\neq 0$ mit ${}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=0$ gibt. Mit diesen Koeffizienten können wir das (von ${}0$ verschiedene) Polynom

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\in K[X]\,$

bilden. Wenn man in dieses Polynom ${}x$ einsetzt, d.h. überall die Variable ${}X$ durch ${}x$ ersetzt, so ergibt sich ${}0$. Das Ergebnis dieses Einsetzens bezeichnet man mit ${}P(x)$, es ist also ${}P(x)=0$. Man sagt, dass ${}P$ das Element ${}x$ annulliert. Wir betrachten die Menge

${}I={\left\{P\in K[X]\mid P(x)=0\right\}}\subseteq K[X]\,,$

also die Menge aller Polynome, die bei Einsetzung von ${}x$ zu ${}0$ werden. Es ergeben sich dabei folgende Fragen.

1. Welche Struktur besitzt ${}I$?
2. Gibt es unter den Elementen ${}P\in I$ besonders einfache Polynome, mit denen man ${}I$ einfach beschreiben kann?
3. Kann man mit Hilfe von ${}I$ Eigenschaften von ${}x\in L$ beschreiben?

Zu all diesen Fragen gibt es überzeugende Antworten. Zur ersten Frage können wir folgende Beobachtung machen: Das Nullpolynom gehört zu ${}I$. Wenn zwei Polynome ${}P_{1},P_{2}$ zu ${}I$ gehören, so gehört auch ihre Summe zu ${}I$, es ist ja ${}(P_{1}+P_{2})(x)=P_{1}(x)+P_{2}(x)=0+0=0$. Für ${}P\in I$ und ein beliebiges Polynom ${}F\in K[X]$ ist auch ${}FP\in I$, wegen ${}(FP)(x)=F(x)\cdot P(x)=F(x)\cdot 0=0$.

Ideale

Die soeben formulierten Eigenschaften der Menge von annullierenden Polynomen führt zur folgenden Definition.

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von ${}R$, die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal ${}0$ und das Einheitsideal ${}R$.

Für den Ring der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ sind Untergruppen und Ideale identische Begriffe. Dies folgt einerseits aus der Gestalt ${}H=\mathbb {Z} d$ für jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ (die ihrerseits aus der Division mit Rest folgt), aber ebenso direkt aus der Tatsache, dass für ${}k\in H$ und beliebiges ${}r\in \mathbb {N}$ gilt ${}rk=k+k+\cdots +k$ (${}r$ Summanden) und entsprechend für negatives ${}r$. Die Skalarmultiplikation mit einem beliebigen Ringelement lässt sich also bei ${}\mathbb {Z}$ auf die Addition zurückführen.

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ der Form

${}{\mathfrak {a}}=(a)=Ra=\{ra:\,r\in R\}\,$

heißt Hauptideal.

Definition

Zu einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet ${}(a_{j}:j\in J)$ das von den ${}a_{j}$ erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

$\sum _{j\in J_{0}}r_{j}a_{j},$

wobei ${}J_{0}\subseteq J$ eine endliche Teilmenge und ${}r_{j}\in R$ ist.

Es handelt sich dabei um das kleinste Ideal in ${}R$, das alle ${}a_{j}$, ${}j\in J$, enthält. Dass ein solches Ideal existiert ist auch deshalb klar, weil der Durchschnitt von einer beliebigen Familie von Idealen wieder ein Ideal ist. Ein Hauptideal ist demnach ein Ideal, das von einem Element erzeugt wird.

Einige ringtheoretische Konzepte

In einem Körper folgt aus ${}xy=0$, dass ein Faktor ${}0$ sein muss. Diese Eigenschaft gilt nicht für beliebige Ringe. Ein Element ${}f\in R$ in einem kommutativen Ring heißt Nichtnullteiler, wenn aus ${}fg=0$ stets ${}g=0$ folgt. Man nennt einen Ring nullteilerfrei, wenn ${}0$ der einzige Nullteiler ist.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Der Ring ${}\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen und die Polynomringe ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ sind Integritätsbereiche. Das sind für uns besonders wichtigste Beispiele. Ein Unterring eines Körpers ist ein Integritätsbereich.

Definition

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.

Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn in ihm jedes von ${}0$ verschiedene Element eine Einheit ist (der Nullring ist kein Körper, da in ihm sogar die ${}0$ eine Einheit ist).

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Eine Einheit kann man als einen Teiler der ${}1$ auffassen. Idealtheoretisch kann man die Eigenschaft, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt, als Zugehörigkeit ${}b\in Ra$ auffassen.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Man sagt, dass zwei Elemente ${}a,b\in R$ teilerfremd sind, wenn jedes Element ${}c\in R$, das sowohl ${}a$ als auch ${}b$ teilt, eine Einheit ist.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Diese Begriffsbildung orientiert sich offenbar an den Primzahlen. Dagegen taucht das Wort „prim“ in der folgenden Definition auf.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass ${}1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die ${}1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist. Für die ganzen Zahlen und für viele weitere Ringe fallen die beiden Begriffe prim und irreduzibel zusammen. Im Allgemeinen ist irreduzibel einfacher nachzuweisen, und prim ist der stärkere Begriff, jedenfalls für Integritätsbereiche.

Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung ${}p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt ${}p$ einen Faktor, sagen wir ${}a=ps$. Dann ist ${}p=psb$ bzw. ${}p(1-sb)=0$. Da ${}p$ kein Nullteiler ist, folgt ${}1=sb$, sodass also ${}b$ eine Einheit ist.

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Irreduzible Polynome

Beispiel

Ein nichtkonstantes Polynom ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\in K[X]$, wobei ${}K$ einen Körper bezeichne, ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Produktdarstellung ${}P=QR$ gibt, die die Gradbedingung

${}0<\operatorname {grad} \,(Q)<\operatorname {grad} \,(P)\,$

erfüllt.

Die irreduziblen Polynome sind gerade die irreduziblen Elemente im Polynomring ${}K[X]$ im Sinne der obigen allgemeinen ringtheoretischen Definition. Nach der weiter unten zu beweisenden Aussage könnte man auch von Primelementen bzw. Primpolynomen sprechen. Eine weitere wichtige Charakterisierung ist die Restklassencharakterisierung, die wir in Korollar 7.7 kennenlernen werden.

Beispiel

Die Irreduzibilität eines Polynoms hängt wesentlich vom Grundkörper ab. Zum Beispiel ist das reelle Polynom ${}X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ irreduzibel, dagegen zerfällt es als Polynom in ${}{\mathbb {C} }[X]$ als

${}X^{2}+1=(X+{\mathrm {i} })(X-{\mathrm {i} })\,.$

Ebenso ist das Polynom ${}X^{2}-5\in \mathbb {Q} [X]$ irreduzibel, aber über ${}\mathbb {R}$ hat es die Zerlegung

${}X^{2}-5={\left(X-{\sqrt {5}}\right)}{\left(X+{\sqrt {5}}\right)}\,.$

Übrigens kann die Zerlegung über einem größeren Körper manchmal dazu benutzt werden um zu zeigen, dass ein Polynom über dem gegebenen Körper irreduzibel ist.

Die Existenz der Faktorzerlegung in der folgenden Aussage folgt unmittelbar aus der Definition von irreduzibel, für die Eindeutigkeit muss man aber wissen, dass in einem Polynomring die irreduziblen Polynome auch Primpolynome sind (siehe unten).

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom.

Dann gibt es eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Produktdarstellung

${}F=aF_{1}\cdots F_{r}\,$

mit ${}a\in K^{\times }$ und irreduziblen normierten Polynomen ${}F_{i}$, ${}i=1,\ldots ,r$.

Beweis

Siehe Aufgabe 3.19.

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Hauptidealbereiche

Definition

Ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealbereich.

Satz

Ein Polynomring über einem Körper

ist ein Hauptidealbereich.

Beweis

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum ${}m\in \mathbb {N}$, das von einem Element ${}F\in I$, ${}F\neq 0$, herrührt, sagen wir ${}m=\operatorname {grad} \,(F)$. Wir behaupten, dass ${}I=(F)$ ist. Die Inklusion ${}\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von ${}\subseteq$ sei ${}P\in I$ gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) gilt

$P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$

Wegen ${}R\in I$ und der Minimalität von ${}\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist ${}R=0$ und ${}P$ ist ein Vielfaches von ${}F$.

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In der eingangs besprochenen Situation eines Elements ${}x\in L$ einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ und des zugehörigen Annullationsideals ${}I={\left\{P\in K[X]\mid P(x)=0\right\}}$ bedeutet dieser Satz, dass es ein Polynom geben muss, das dieses Ideal erzeugt. Dieses Polynom besitzt unter sämtlichen annullierenden Polynomen ${}\neq 0$ minimalen Grad, und man kann es als normiert ansetzen, wodurch es eindeutig festgelegt wird. Man spricht vom Minimalpolynom zu ${}x$.

Mit einem ähnlichen Argument wie im Beweis der letzten Aussage verwendet kann man zeigen, dass ${}\mathbb {Z}$ ebenfalls ein Hauptidealbereich ist. Die folgenden Aussagen gelten also auch für ${}\mathbb {Z}$.

Die beiden folgenden Aussagen nennt man Lemma von Bezout bzw. Lemma von Euklid.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a,b\in R$ teilerfremde Elemente.

Dann kann man die ${}1$ als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$.

Beweis

Wir betrachten das von ${}a$ und ${}b$ erzeugte Ideal ${}I=(a,b)$. Da ${}R$ ein Hauptidealbereich ist, gibt es ein ${}c\in R$ mit ${}(a,b)=(c)$. Daher ist ${}c$ ein Teiler von ${}a$ und von ${}b$. Die Teilerfremdheit impliziert, dass ${}c$ eine Einheit ist. Wegen ${}c\in (a,b)$ gibt es eine Darstellung ${}c=ua+vb$. Multiplikation mit ${}c^{-1}$ ergibt die Darstellung der ${}1$.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

Beweis

Da ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass ${}a$ das Produkt ${}bc$ teilt, schreiben wir als ${}bc=da$. Damit gilt

${}c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$

was zeigt, dass ${}c$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Lemma 3.10 stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt ${}p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass ${}p$ das Produkt ${}ab$ teilt, sagen wir ${}pc=ab$. Nehmen wir an, dass ${}a$ kein Vielfaches von ${}p$ ist. Dann sind aber ${}a$ und ${}p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette ${}(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von ${}p$ widerspricht. Damit teilt ${}p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor ${}b$.

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Fußnoten

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