Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers}
Zu einer Primzahl $p$ ist
\mathl{\Z/(p)}{} ein Körper mit $p$ Elementen und somit besitzt die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{\Z/(p)^{\times}}{} genau $p-1$ Elemente. Nach
dem Satz von Lagrange
folgt daraus direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^{p-1}
}
{ = }{1 \mod p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0 \mod p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich der sogenannte \stichwort {Kleine Fermat} {.}
\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^p
}
{ \equiv} { a \mod p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Anders ausgedrückt:
\mathl{a^p-a}{} ist durch $p$ teilbar.}
\faktzusatz {}
}
{
Ist $a$ nicht durch $p$ teilbar, so definiert $a$ ein Element $\bar a$ in der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{;} diese Gruppe hat die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{p-1}{,} und nach
dem Satz von Lagrange
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\bar a}^{p-1}
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Durch Multiplikation mit $a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von $p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig $0$ steht.
Wir wollen darüber hinaus zeigen, dass die Einheitengruppe von
\mathbed {\Z/(p)} {}
{p \text{ Primzahl}} {}
{} {} {} {,}
zyklisch ist, also von einem Element erzeugt wird. Dafür brauchen wir einige gruppentheoretische Vorbereitungen.
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mathl{x, y \in G}{} Elemente der
\definitionsverweis {endlichen Ordnungen}{}{}
\mathkor {} {n = \operatorname{ord} \, (x)} {und} {m = \operatorname{ord} \, (y)} {,}
wobei
\mathkor {} {n} {und} {m} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
seien.}
\faktfolgerung {Dann hat $xy$ die Ordnung $nm$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (xy)^k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir haben zu zeigen, dass $k$ ein Vielfaches von $nm$ ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { { \left( x^ky^k \right) }^n
}
{ =} { x^{kn}y^{kn}
}
{ =} { y^{kn}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja $n$ die Ordnung von $x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass $kn$ ein Vielfaches der Ordnung von $y$, also von $m$ sein muss. Da
\mathkor {} {n} {und} {m} {}
teilerfremd sind, folgt aus
Lemma 3.17,
dass $k$ ein Vielfaches von $m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist, sodass $k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von $nm$ sein muss.
\inputdefinition
{}
{
Der \definitionswort {Exponent}{}
\mathl{\exp { \left( G \right) }}{} einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in G}{} ist.
}
\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Exponentenkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp} (G)
}
{ = }{ \operatorname {ord} { { \left( G \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\operatorname{exp}(G)}{} den
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
der Gruppe bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { \operatorname{ord} \, (G)
}
{ =} {p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
der Gruppe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp}(G)
}
{ =} { \operatorname{kgV}( \operatorname{ord}(x):\, x \in G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei $p_i$ ein Primteiler von $n$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp}(G)
}
{ =} { \operatorname{ord} \, (G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es ein Element
\mathl{x \in G}{,} dessen Ordnung ein Vielfaches von
\mathl{p_i^{r_i}}{} ist. Dann gibt es auch
\zusatzklammer {in der von $x$ erzeugten zyklischen Untergruppe} {} {}
ein Element $x_i$ der Ordnung
\mathl{p_i^{r_i}}{.} Dann hat das Produkt
\mathl{x_1 \cdots x_k \in G}{} nach
Lemma 9.2
die Ordnung $n$.
\inputfaktbeweis
{Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der multiplikativen Gruppe eines
\definitionsverweis {Körpers}{}{}
$K$.}
\faktfolgerung {Dann ist $U$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \operatorname {ord} { { \left( U \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{ \exp { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^{e} -1}{} sind. Nach
Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Nach
Lemma 9.4
ist dann $U$ zyklisch.
\inputfaktbeweis
{Endlicher Körper/Einheitengruppe ist zyklisch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $K^\times$ eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 9.5.
\inputfaktbeweis
{Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{p-1}{.}}
\faktzusatz {Es gibt also Elemente $g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen
\mathbed {g^{i}} {}
{i=0,1 , \ldots , p-2} {}
{} {} {} {,}
alle Einheiten durchlaufen.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus
Satz 9.5, da
\mathl{\Z/(p)}{} ein endlicher Körper ist.
Die endlichen Untergruppen von
\mathl{\R^{\times}}{} sind lediglich
\mathkor {} {\{1\}} {und} {\{1,-1\}} {.}
Dies gilt für jeden
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{,}
da etwa aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sofort folgt, dass die $x^n$ eine unendliche Familie bilden. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die endlichen Untergruppen von ${\mathbb C}^{\times}$ Untergruppen des komplexen Einheitskreises. Es handelt sich um die von einer primitiven komplexen Einheitswurzel erzeugten Gruppen.
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {primitiv}{}
\zusatzklammer {oder eine \definitionswort {primitive Einheit}{}} {} {,}
wenn sie die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
erzeugt.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {Restklassenkörpers}{}{}
\mathl{\Z/(23)}{.} Nach
Satz 9.7
ist sie
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also
\definitionsverweis {primitive Elemente}{}{.}
Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe $22$ Elemente besitzt, als
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von Elementen dieser Gruppe kommen also nur
$1,2,11$ und $22$
in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung $1$, nämlich $1$, und ein Element mit der Ordnung $2$, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ = }{22
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Alle anderen Elemente haben also die Ordnung
\mathkor {} {11} {oder} {22} {,}
und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist $2$. Wir müssen also
\mathdisp {2^{11} \mod 23} { }
ausrechnen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2^5
}
{ = }{ 32
}
{ = }{ 9
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^{11}
}
{ =} { 9 \cdot 9 \cdot 2
}
{ =} { 12 \cdot 2
}
{ =} { 24
}
{ =} { 1
}
}
{}{}{.}
Die Ordnung ist also $11$, und die $2$ ist nicht primitiv. Betrachten wir die $3$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^3
}
{ = }{27
}
{ = }{4
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^{11}
}
{ =} {4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 9
}
{ =} {18 \cdot 9
}
{ =} {162
}
{ =} {1
}
}
{}{}{,}
also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat $4$ muss nicht gecheckt werden, denn wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4
}
{ = }{2^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4^{11}
}
{ = }{2^{22}
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo $23$ ein Quadrat sind} {} {.}
Betrachten wir also $5$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5^2
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5^{11}
}
{ =} {2^{5} \cdot 5
}
{ =} {9 \cdot5
}
{ =} {45
}
{ =} {-1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \neq} {1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Daher hat $5$ die Ordnung $22$ und ist ein primitives Element.
Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {\Z/(22)} {{ \left( \Z/(23) \right) }^{\times}
} {k} {5^k
} {,}
einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer \stichwort {diskreten Exponentialfunktion} {} und nennt die Umkehrabbildung auch einen \stichwort {diskreten Logarithmus} {.} Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der \stichwort {Kryptologie} {.} Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der \anfuehrung{einfacheren}{} Gruppe entscheiden. Z.B. sind in
\mathl{\Z/(22)}{} alle ungeraden Elemente außer $11$ ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form
\mathbeddisp {5^u} {}
{u \text{ ungerade}} {}
{u \neq 11} {} {} {,}
primitiv.
}
\zwischenueberschrift{Primitive Einheitswurzeln}
Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln in einem Körper $K$ bilden eine endliche Untergruppe von $K^{\times}$, die wegen Satz 9.5 zyklisch ist.
\inputdefinition
{}
{
Eine $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} heißt \definitionswort {primitiv}{,} wenn sie die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ besitzt.
}
Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es $n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn $\zeta$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die
\mathbed {\zeta^i} {mit}
{i < n} {}
{} {} {} {}
und $i$ teilerfremd zu $n$ die primitiven Einheitswurzeln\zusatzfussnote {Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau ${\varphi (n)}$ primitive Einheitswurzeln, wobei ${\varphi (n)}$ die
\definitionsverweis {eulersche $\varphi$-Funktion}{}{}
bezeichnet. Siehe Vorlesung 19} {.} {.}
\zwischenueberschrift{Endliche Körper}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {Körper}{}{} heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.
}
Über die Anzahl der Elemente in einem endlichen Körper gilt folgende wichtige Bedingung.
\inputfaktbeweis
{Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $K$ genau $p^n$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der endliche Körper kann nicht die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach
Satz Anhang 5.2
nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper
\mathl{\Z/(p)}{} enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über
\mathl{\Z/(p)}{,} und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei $n$ die Dimension,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann hat man eine
\mathl{\Z/(p)}{-}Vektorraumisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ \cong} {(\Z/(p))^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit besitzt $K$ gerade $p^n$ Elemente.
Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner für endliche Ringe, die einen Körper enthalten. Es sei schon jetzt erwähnt, dass es zu jeder Potenz $p^{n}$ bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $p^{n}$ Elementen gibt. Dies werden wir in der übernächsten Vorlesung beweisen. Für einige Beispiele siehe auch die Aufgaben.
\inputbeispiel{
}
{
Wir konstruieren einen Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 23^2
}
{ = }{ 529
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elementen und knüpfen dabei an
Beispiel 9.9
an. Da die
\mathl{5 \in \Z/(23)}{}
\definitionsverweis {primitiv}{}{}
ist, folgt, dass das Polynom
\mathl{X^2-5 \in \Z/(23)[X]}{} irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5
}
{ = }{a^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Quadrat mit
\mathl{a \in \Z/(23)}{.} Doch dann wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5^{11}
}
{ = }{a^{22}
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was nicht der Fall ist.
Es folgt nach
Satz 7.6,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Z/(23)[X]/(X^2-5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper ist. Dieser hat $23^2$ Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als
\mathbed {ax+b} {mit}
{a,b \in \Z/(23)} {}
{} {} {} {}
schreiben kann
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
Dieser Körper enthält
\mathl{\Z/(23)}{,} und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht
\zusatzklammer {und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper} {} {.}
Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an
Lemma 9.2.
Die Ordnung von $K^{\times}$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{528
}
{ = }{16 \cdot 3 \cdot 11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die $2$ hat die Ordnung $11$. Das Element
\mathl{11-x}{} hat die Ordnung $3$, es ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (11-x)^3
}
{ =} { 121\cdot 11 - 3 \cdot 121 x +33 x^2 -x^3
}
{ =} { 66 - 3 \cdot 6 x +50-5x
}
{ =} { 116-23 x
}
{ =} { 1
}
}
{}{}{.}
Um ein Element der Ordnung $16$ zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus $-1$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(3x)^2
}
{ =} {9x^2
}
{ =} {45
}
{ =} {-1
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Eine Quadratwurzel aus $3x$ ist
\mathl{14+19x}{,} wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(14+19x)^2
}
{ =} { 196 +361 \cdot 5 + 2 \cdot 14 \cdot 19 x
}
{ =} { 12+ 16 \cdot 5 + 5 \cdot 19 x
}
{ =} { 3x
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Um eine Quadratwurzel für
\mathl{14+19x}{} zu finden, setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b x)^2
}
{ = }{14+19x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, was zum Gleichungssystem
\mathkor {} {a^2+5b^2=14} {und} {2ab=19} {}
über
\mathl{\Z/(23)}{} führt. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { 21 \cdot b^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 4 b^{-2} +5b^2
}
{ = }{ 14
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw. zur \stichwort {biquadratischen Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5b^4 +9 b^2 +4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt. Normieren ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^4 + 11 b^2 +10
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\stichwort {Quadratisches Ergänzen} {} führt zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (b^2+17)^2
}
{ =} { 17^2-10
}
{ =} { 49
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^2
}
{ = }{13
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mathkor {} {b=6} {und} {a=15} {,}
also ist
\mathl{15+6x}{} ein Element der Ordnung $16$. Damit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 (11-x) (15+6x)
}
{ =} { 2 (165-30 +51x )
}
{ =} { 2 (20 +5x )
}
{ =} { 17+10x
}
{ } {}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
nach
Lemma 9.2.
}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{1, -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
immer
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{x^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
\mathdisp {1 (-1) x_1 x_1^{-1} \cdots x_k x_k^{-1}} { }
schreiben. Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Satz von Wilson} {.}
\inputfaktbeweis
{Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p-1)!
}
{ = }{-1 \!\!\! \mod p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt unmittelbar aus
Satz 9.14,
da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen
\mathkor {} {1} {und} {p-1} {}
läuft, also durch alle
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
im
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mathl{\Z/(p)}{.}