Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 9

Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers

Zu einer Primzahl ${}p$ ist ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein Körper mit ${}p$ Elementen und somit besitzt die Einheitengruppe ${}\mathbb {Z} /(p)^{\times }$ genau ${}p-1$ Elemente. Nach dem Satz von Lagrange folgt daraus direkt ${}x^{p-1}=1\mod p$ für ${}x\neq 0\mod p$. Daraus ergibt sich der sogenannte Kleine Fermat.

Satz

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

${}a^{p}\equiv a\mod p\,.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

Beweis

Ist ${}a$ nicht durch ${}p$ teilbar, so definiert ${}a$ ein Element ${}{\bar {a}}$ in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$; diese Gruppe hat die Ordnung ${}p-1$, und nach dem Satz von Lagrange gilt ${}{\bar {a}}^{p-1}=1$. Durch Multiplikation mit ${}a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von ${}p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig ${}0$ steht.

$\Box$

Wir wollen darüber hinaus zeigen, dass die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(p)$, ${}p{\text{ Primzahl}}$, zyklisch ist, also von einem Element erzeugt wird. Dafür brauchen wir einige gruppentheoretische Vorbereitungen.

Lemma

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}x,y\in G$ Elemente der endlichen Ordnungen ${}n=\operatorname {ord} \,(x)$ und ${}m=\operatorname {ord} \,(y)$, wobei ${}n$ und ${}m$ teilerfremd seien.

Dann hat ${}xy$ die Ordnung ${}nm$.

Beweis

Sei ${}(xy)^{k}=1$. Wir haben zu zeigen, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}nm$ ist. Es ist

${}1={\left(x^{k}y^{k}\right)}^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$

da ja ${}n$ die Ordnung von ${}x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass ${}kn$ ein Vielfaches der Ordnung von ${}y$, also von ${}m$ sein muss. Da ${}n$ und ${}m$ teilerfremd sind, folgt aus Lemma 3.17, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}n$ ist, sodass ${}k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von ${}nm$ sein muss.

$\Box$

Definition

Der Exponent ${}\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass ${}x^{n}=1$ für alle ${}x\in G$ ist.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei ${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$, wobei ${}\operatorname {exp} (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist ${}G$ zyklisch.

Beweis

Sei

${}n=\operatorname {ord} \,(G)=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (x):\,x\in G)\,.$

Es sei ${}p_{i}$ ein Primteiler von ${}n$. Wegen

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$

gibt es ein Element ${}x\in G$, dessen Ordnung ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von ${}x$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element ${}x_{i}$ der Ordnung ${}p_{i}^{r_{i}}$. Dann hat das Produkt ${}x_{1}\cdots x_{k}\in G$ nach Lemma 9.2 die Ordnung ${}n$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${}K$.

Dann ist ${}U$ zyklisch.

Beweis

Es sei ${}n=\operatorname {ord} {\left(U\right)}$ und ${}e=\exp {\left(U\right)}$ der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente ${}x\in U$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{e}-1$ sind. Nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, sodass ${}n=e$ folgt. Nach Lemma 9.4 ist dann ${}U$ zyklisch.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann ist die Einheitengruppe ${}K^{\times }$ eine zyklische Gruppe.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 9.5.

$\Box$

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 9.5, da ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein endlicher Körper ist.

$\Box$

Die endlichen Untergruppen von ${}\mathbb {R} ^{\times }$ sind lediglich ${}\{1\}$ und ${}\{1,-1\}$. Dies gilt für jeden angeordneten Körper, da etwa aus ${}x>1$ sofort folgt, dass die ${}x^{n}$ eine unendliche Familie bilden. Bei ${}K={\mathbb {C} }$ sind die endlichen Untergruppen von ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ Untergruppen des komplexen Einheitskreises. Es handelt sich um die von einer primitiven komplexen Einheitswurzel erzeugten Gruppen.

Definition

Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Beispiel

Wir betrachten die Einheitengruppe des Restklassenkörpers ${}\mathbb {Z} /(23)$. Nach Satz 9.7 ist sie zyklisch und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also primitive Elemente. Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe ${}22$ Elemente besitzt, als Ordnung von Elementen dieser Gruppe kommen also nur ${}1,2,11$ und ${}22$ in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung ${}1$, nämlich ${}1$, und ein Element mit der Ordnung ${}2$, nämlich ${}-1=22$. Alle anderen Elemente haben also die Ordnung ${}11$ oder ${}22$, und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist ${}2$. Wir müssen also

$2^{11}\mod 23$

ausrechnen. Es ist ${}2^{5}=32=9$ und daher ist

${}2^{11}=9\cdot 9\cdot 2=12\cdot 2=24=1\,.$

Die Ordnung ist also ${}11$, und die ${}2$ ist nicht primitiv. Betrachten wir die ${}3$. Es ist ${}3^{3}=27=4$ und daher ist

${}3^{11}=4\cdot 4\cdot 4\cdot 9=18\cdot 9=162=1\,,$

also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat ${}4$ muss nicht gecheckt werden, denn wegen ${}4=2^{2}$ ist sofort ${}4^{11}=2^{22}=1$ (diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo ${}23$ ein Quadrat sind). Betrachten wir also ${}5$. Es ist ${}5^{2}=2$. Damit ist

${}5^{11}=2^{5}\cdot 5=9\cdot 5=45=-1\neq 1\,.$

Daher hat ${}5$ die Ordnung ${}22$ und ist ein primitives Element.

Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung

$\mathbb {Z} /(22)\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(23)\right)}^{\times },\,k\longmapsto 5^{k},$

einen Gruppenisomorphismus definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer diskreten Exponentialfunktion und nennt die Umkehrabbildung auch einen diskreten Logarithmus. Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der Kryptologie. Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der „einfacheren“ Gruppe entscheiden. Z.B. sind in ${}\mathbb {Z} /(22)$ alle ungeraden Elemente außer ${}11$ ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form

$5^{u},u{\text{ ungerade}},u\neq 11,$

primitiv.

Primitive Einheitswurzeln

Die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in einem Körper ${}K$ bilden eine endliche Untergruppe von ${}K^{\times }$, die wegen Satz 9.5 zyklisch ist.

Definition

Eine ${}n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es ${}n$ verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ist, so sind genau die ${}\zeta ^{i}$ mit ${}i<n$ und ${}i$ teilerfremd zu ${}n$ die primitiven Einheitswurzeln.

Endliche Körper

Definition

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Über die Anzahl der Elemente in einem endlichen Körper gilt folgende wichtige Bedingung.

Lemma

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann besitzt ${}K$ genau ${}p^{n}$ Elemente, wobei ${}p$ eine Primzahl ist und ${}n\geq 1$.

Beweis

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik ${}0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Satz Anhang 5.2 nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit ${}p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass ${}K$ den Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber ${}K$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da ${}K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei ${}n$ die Dimension, ${}n\geq 1$. Dann hat man eine ${}\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie

${}K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$

und somit besitzt ${}K$ gerade ${}p^{n}$ Elemente.

$\Box$

Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner für endliche Ringe, die einen Körper enthalten. Es sei schon jetzt erwähnt, dass es zu jeder Potenz ${}p^{n}$ bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}p^{n}$ Elementen gibt. Dies werden wir in der übernächsten Vorlesung beweisen. Für einige Beispiele siehe auch die Aufgaben.

Beispiel

Wir konstruieren einen Körper mit ${}23^{2}=529$ Elementen und knüpfen dabei an Beispiel 9.9 an. Da die ${}5\in \mathbb {Z} /(23)$ primitiv ist, folgt, dass das Polynom ${}X^{2}-5\in \mathbb {Z} /(23)[X]$ irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre ${}5=a^{2}$ ein Quadrat mit ${}a\in \mathbb {Z} /(23)$. Doch dann wäre ${}5^{11}=a^{22}=1$, was nicht der Fall ist.

Es folgt nach Satz 7.6, dass

${}K=\mathbb {Z} /(23)[X]/(X^{2}-5)\,$

ein Körper ist. Dieser hat ${}23^{2}$ Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als ${}ax+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {Z} /(23)$ schreiben kann (${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$). Dieser Körper enthält ${}\mathbb {Z} /(23)$, und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht (und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper).

Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an Lemma 9.2. Die Ordnung von ${}K^{\times }$ ist ${}528=16\cdot 3\cdot 11$. Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die ${}2$ hat die Ordnung ${}11$. Das Element ${}11-x$ hat die Ordnung ${}3$, es ist nämlich

${}(11-x)^{3}=121\cdot 11-3\cdot 121x+33x^{2}-x^{3}=66-3\cdot 6x+50-5x=116-23x=1\,.$

Um ein Element der Ordnung ${}16$ zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus ${}-1$. Es ist

${}(3x)^{2}=9x^{2}=45=-1\,.$

Eine Quadratwurzel aus ${}3x$ ist ${}14+19x$, wegen

${}(14+19x)^{2}=196+361\cdot 5+2\cdot 14\cdot 19x=12+16\cdot 5+5\cdot 19x=3x\,.$

Um eine Quadratwurzel für ${}14+19x$ zu finden, setzen wir ${}(a+bx)^{2}=14+19x$ an, was zum Gleichungssystem ${}a^{2}+5b^{2}=14$ und ${}2ab=19$ über ${}\mathbb {Z} /(23)$ führt. Es ist dann

${}a=21\cdot b^{-1}\,,$

was zu ${}4b^{-2}+5b^{2}=14$ bzw. zur biquadratischen Gleichung

${}5b^{4}+9b^{2}+4=0\,$

führt. Normieren ergibt ${}b^{4}+11b^{2}+10=0$. Quadratisches Ergänzen führt zu

${}(b^{2}+17)^{2}=17^{2}-10=49\,.$

Daher ist ${}b^{2}=13$ und somit ${}b=6$ und ${}a=15$, also ist ${}15+6x$ ein Element der Ordnung ${}16$. Damit ist insgesamt

${}2(11-x)(15+6x)=2(165-30+51x)=2(20+5x)=17+10x\,$

eine primitive Einheit nach Lemma 9.2.

Satz

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann ist das Produkt aller von ${}0$ verschiedener Elemente aus ${}K$ gleich ${}-1$.

Beweis

Die Gleichung ${}x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen ${}1$ und ${}-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für ${}x\neq 1,-1$ immer ${}x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

$1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$

schreiben. Ist ${}-1\neq 1$, so ist das Produkt ${}-1$. Ist hingegen ${}-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist ${}1=-1$.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Satz von Wilson.

Korollar

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 9.14, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen ${}1$ und ${}p-1$ läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$.

$\Box$

Fußnoten

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