Kurs:Lineare Algebra/Teil I/59/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	0	0	3	7	4	3	3	5	0	3	1	2	8	0	0	0	0	0	0	0	39

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.

Aufgabe * (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

{\begin{matrix}x&+y&+z&+w&=&0\\-2x&+3y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2z&+5w&=&7\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+5z&+3w&=&1\,.\end{matrix}}

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

{\begin{pmatrix}13&2&1\\0&13&2\\0&0&13\end{pmatrix}}

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

{\begin{pmatrix}13&1&0\\0&13&1\\0&0&13\end{pmatrix}}

beschrieben wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

{\begin{pmatrix}1&1&0\\7&2&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$ - Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\ln p$ , wobei ${}p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

A={\begin{pmatrix}1&4&1\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{  und }}\,\,B={\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix

{\begin{pmatrix}3-\pi &2-3{\sqrt {5}}\\3-{\sqrt {5}}&4\pi \end{pmatrix}}.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}4x^{2}+3x+7$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}y^{3}+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.