Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jede \definitionsverweis {endliche Permutation}{}{} durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {7} {3} {1} }
{\mazeileunddrei {4} {8} {6} }
die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
und das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
$\sigma$ mit
\wertetabellezehnausteilzeilen { $P$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundfuenf {6} {7} {8} {9} {10
} }
{ $\sigma(P)$ }
{\mazeileundfuenf {7} {10} {3} {9} {5} }
{\mazeileundfuenf {2} {4} {1} {8} {6
} }
die Potenzen $\sigma^2$ und $\sigma^3$. Bestimme die
\definitionsverweis {Zyklendarstellung}{}{}
für diese drei Permutationen an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die Permutation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ \in }{ S_7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7} }
{ $\tau (x)$ }
{\mazeileundfuenf {1} {3} {5} {7} {6} }
{\mazeileundzwei {4} {2 } }
gegeben ist.
\aufzaehlungvier{Man gebe die Zyklendarstellung von $\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich.
}{Berechne $\tau^3$ und die Ordnung von $\tau^3$.
}{Bestimme die Fehlstände von $\tau$ und das Vorzeichen
\zusatzklammer {Signum} {} {} von $\tau$.
}{Schreibe $\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von $\tau$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die beiden Permutationen \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {3} {7} {1} }
{\mazeileunddrei {4} {8} {6} } und \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\tau(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {5} {2} {8} {6} }
{\mazeileunddrei {7} {1} {3} }
Berechne $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
und das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{}
von $\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von $\sigma$ und von $\sigma^3$ an. Was ist die Ordnung von $\sigma$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass durch die Zuordnung
\maabbeledisp {} { S_n \times \{1 , \ldots , n+1\} } { S_{n+1}
} { (\varphi,x) } { \tilde{ \varphi}
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (k)
}
{ =} { \begin{cases} \varphi(k) \text{ für } k \leq n \text{ und } \varphi(k) < x \, , \\
\varphi(k)+1 \text{ für } k \leq n \text{ und } \varphi(k) \geq x \, , \\
x \text{ für } k = n+1 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} aller $3\times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal $1$ und zweimal $0$ steht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mittels der
\definitionsverweis {Leibniz-Formel}{}{}
die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 9 & 8 & 7 \\1 & 2 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
Es sei
\mathl{(G,e,\circ)}{} eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Untergruppe}{} von $G$ wenn folgendes gilt.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \circ h
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{-1}
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $M$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \biguplus_{i \in I} M_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Partition von $M$, d.h. jedes $M_i$ ist eine Teilmenge von $M$ und $M$ ist die disjunkte Vereinigung der $M_i$. Zeige, dass die Produktgruppe
\mathdisp {\prod_{i \in I} \operatorname{Perm} \, (M_i)} { }
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $\operatorname{Perm} \,(M)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {gerade Permutation}{}{}
\mathbed {\sigma \in S_n} {}
{n \geq 3} {}
{} {} {} {,}
ein Produkt aus Dreierzykeln ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $\sigma$ ein \definitionsverweis {Zykel}{}{} der Ordnung $n$. Zeige, dass man $\sigma$ als Produkt von $n-1$ \definitionsverweis {Transpositionen}{}{} schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wie viele injektive Abbildungen gibt es von ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ nach $\{ 1 , \ldots , m \}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ nach $\{ 1 , \ldots , m \}$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme mittels der
\definitionsverweis {Leibniz-Formel}{}{}
die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 3 & 1 \\ 6 & 8 & 2 \\7 & 5 & 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
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