Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass man jede endliche Permutation durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne für die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}5$	${}7$	${}3$	${}1$	${}4$	${}8$	${}6$

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.

Aufgabe

Berechne für die Permutation ${}\sigma$ mit

${}P$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$	${}9$	${}10$
${}\sigma (P)$	${}7$	${}10$	${}3$	${}9$	${}5$	${}2$	${}4$	${}1$	${}8$	${}6$

die Potenzen ${}\sigma ^{2}$ und ${}\sigma ^{3}$. Bestimme die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen an.

Aufgabe *

Betrachte die Permutation ${}\tau \in S_{7}$, die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\tau (x)$	${}1$	${}3$	${}5$	${}7$	${}6$	${}4$	${}2$

gegeben ist.

1. Man gebe die Zyklendarstellung von ${}\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich.
2. Berechne ${}\tau ^{3}$ und die Ordnung von ${}\tau ^{3}$.
3. Bestimme die Fehlstände von ${}\tau$ und das Vorzeichen (Signum) von ${}\tau$.
4. Schreibe ${}\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von ${}\tau$.

Aufgabe *

Betrachte die beiden Permutationen

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\sigma (x)$	${}2$	${}5$	${}3$	${}7$	${}1$	${}4$	${}8$	${}6$

und

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\tau (x)$	${}4$	${}5$	${}2$	${}8$	${}6$	${}7$	${}1$	${}3$

Berechne ${}\sigma \tau$ und ${}\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von ${}\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von ${}\sigma$ und von ${}\sigma ^{3}$ an. Was ist die Ordnung von ${}\sigma$?

Aufgabe

Zeige, dass durch die Zuordnung

$S_{n}\times \{1,\ldots ,n+1\}\longrightarrow S_{n+1},\,(\varphi ,x)\longmapsto {\tilde {\varphi }},$

mit

${}{\tilde {\varphi }}(k)={\begin{cases}\varphi (k){\text{ für }}k\leq n{\text{ und }}\varphi (k)<x\,,\\\varphi (k)+1{\text{ für }}k\leq n{\text{ und }}\varphi (k)\geq x\,,\\x{\text{ für }}k=n+1\,,\end{cases}}\,$

eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.

Aufgabe

Berechne die Determinanten aller ${}3\times 3$-Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal ${}1$ und zweimal ${}0$ steht.

Aufgabe

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Die zugehörige Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass

${}a_{\pi (i),i}=1\,$

ist und alle anderen Einträge ${}0$ sind. Zeige, dass

${}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,$

ist.

Aufgabe

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}3&4&5\\9&8&7\\1&2&3\end{pmatrix}}.$

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine Partition von ${}M$, d.h. jedes ${}M_{i}$ ist eine Teilmenge von ${}M$ und ${}M$ ist die disjunkte Vereinigung der ${}M_{i}$. Zeige, dass die Produktgruppe

$\prod _{i\in I}\operatorname {Perm} \,(M_{i})$

eine Untergruppe von ${}\operatorname {Perm} \,(M)$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede gerade Permutation ${}\sigma \in S_{n}$, ${}n\geq 3$, ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}\sigma$ ein Zykel der Ordnung ${}n$. Zeige, dass man ${}\sigma$ als Produkt von ${}n-1$ Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}m\geq n$. Wie viele injektive Abbildungen gibt es von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ nach ${}\{1,\ldots ,m\}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ nach ${}\{1,\ldots ,m\}$?

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}6&3&1\\6&8&2\\7&5&4\end{pmatrix}}.$