Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 & -3 \\ 2 & 7 & 5 \\0 & 0 & -6 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über
\mathl{\R}{} nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\3 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { }
über dem \definitionsverweis {Körper mit fünf Elementen}{}{} \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, seien \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n } {} die \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {trigonalisierbarer Endomorphismus}{}{} auf dem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{.} Zeige, dass
\mathl{P(\varphi)}{} ebenfalls trigonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und \maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn ${ \varphi }^{ * }$ trigonalisierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn $\varphi$ bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} durch eine \definitionsverweis {untere Dreiecksmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \ast & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \ast & \cdots & \ast & a_{ n-1} & 0 \\ \ast & \cdots & \cdots & \ast & a_{ n } \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Abbildungen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige folgende Eigenschaften. \aufzaehlungfuenf{Der \definitionsverweis {Nullraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{
\mathl{V}{} ist $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{.} }{\definitionsverweis {Eigenräume}{}{} sind $\varphi$-invariant. }{Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2 }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} $\varphi$-invariante Unterräume. Dann sind auch
\mathl{U_1 \cap U_2}{} und
\mathl{U_1 + U_2}{} $\varphi$-invariant. }{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-invarianter Unterraum. Dann sind auch der \definitionsverweis {Bild\-raum}{}{}
\mathl{\varphi(U)}{} und der \definitionsverweis {Urbildraum}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(U)}{} $\varphi$-invariant. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der kleinste $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Unterraum}{}{} von $V$, der $v$ enthält, gleich
\mathdisp {\langle \varphi^n(v) ,\, n \in \N \rangle} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{} von $V$. Zeige, dass zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Raum $U$ ebenfalls
\mathl{P(\varphi)}{-}invariant ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, bezüglich der die Matrix zur \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} sei. Zeige, dass die \definitionsverweis {erzeugten Untervektorräume}{}{}
\mathdisp {\langle v_1 , \ldots , v_i \rangle} { }
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} für jedes $i$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi }
{ \in }{ S_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} und $M_\pi$ die zugehörige \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J }
{ \subseteq }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_J }
{ =} { \langle e_j ,\, j \in J \rangle }
{ \subseteq} { K^n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass $V_J$ genau dann $M_\pi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(J) }
{ \subseteq }{ J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

b) Zeige, dass es $M_\pi$-invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form $V_J$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Minimalpolynome}{}{} der \zusatzklammer {links oben} {} {} Untermatrizen zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} {V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} { V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in $V$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} derart gibt, dass diese Fahne die einzige $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen und $V$ ein \definitionsverweis {zweidimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ der \definitionsverweis {Körper mit drei Elementen}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {dreidimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fahnen}{}{} in $V$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix über einem Körper $K$.

a) Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} gibt, in der mindestens ein Eintrag gleich $0$ ist.

b) Zeige, dass es nicht unbedingt eine zu $M$ ähnliche Matrix geben muss, in der mindestens zwei Einträge gleich $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Streckung}{}{} ist, wenn die beschreibende Matrix unabhängig von den gewählten Basen ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

\definitionsverweis {Trigonalisiere}{}{} die komplexe Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 3 \\ 5 { \mathrm i} & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 7 & 9 & 8 \\ 6 & 2 & -7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 5 & 6 & 2 \\ 5 & 7 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{M}{} eine \definitionsverweis {reelle}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die über $\R$ nicht \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ über ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix über $\Q$, deren \definitionsverweis {Spur}{}{} gleich $0$ sei. Zeige, dass es eine zu $M$ \definitionsverweis {ähnliche Matrix}{}{} $N$ der Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & r \\ s & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}