Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}X^{2}-1$ und ${}X^{3}-1$ sowie eine Darstellung davon.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}X-1$ und ${}X-2$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}X^{4}-X^{3}+7X^{2}-5X+11$ und ${}X^{3}-6X^{2}+4X+6$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+2X^{2}+5X+2$ und ${}Q=X^{2}+4X-3$ .

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{9}-1$ und ${}Q=X^{3}-1$ .

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {R} [X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{3}+\pi X^{2}+7$ und ${}Q=X^{2}+{\sqrt {7}}X-{\sqrt {2}}$ .

Aufgabe

Bestimme in ${}{\mathbb {F} }_{5}[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}P=X^{4}+3X^{3}+X^{2}+4X+2$ und ${}Q=2X^{3}+4X^{2}+X+3$ .

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und seien ${}F,G\in K[X]$ zwei Polynome. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}K[X]$ genau dann ist, wenn ${}F$ ein Teiler von ${}G$ in ${}L[X]$ ist.

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen, der völlig analog zum euklidischen Algorithmus für Polynome läuft.

Aufgabe

Die Wasserspedition „Alles im Eimer“ verfügt über einen ${}7$ - und einen ${}10$ -Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Kann sie diesen Auftrag erfüllen?

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$ .

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}2956$ und ${}2444$ .

Aufgabe *

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen ${}M^{i}$ zur Matrix

{}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,

Aufgabe

Bestimme die Kerne der Potenzen ${}M^{i}$ zur Matrix

{}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,

Aufgabe

Es sei

{}M={\begin{pmatrix}3&1&7\\0&3&5\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.

Bestimme die Kerne zu den Potenzen

{\left(3E_{3}-M\right)}^{i}.

Aufgabe

Bestimme die Haupträume zur Matrix

{\begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&2&3\\0&0&0&2\end{pmatrix}}.

Aufgabe

Zeige, dass für eine diagonalisierbare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

und jedes ${}\lambda \in K$ die Gleichheit

{}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,

gilt.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine trigonalisierbare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn für jedes ${}\lambda \in K$ die Gleichheit

{}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )\,

gilt.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein trigonalisierbarer Endomorphismus und

{}V=H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{m}\,

die direkte Summenzerlegung in Haupträume im Sinne von Satz 26.12. Zeige, dass es eine ${}\varphi$ - invariante Fahne ${}V_{i}$ derart gibt, dass in der Fahne die Untervektorräume

H_{1},H_{1}\oplus H_{2},\ldots ,H_{1}\oplus \cdots \oplus H_{j}

für ${}j=1,\ldots ,m$ auftreten.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in ${}{\mathbb {C} }[X]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome ${}X^{3}+(2-{\mathrm {i} })X^{2}+4$ und ${}(3-{\mathrm {i} })X^{2}+5X-3$ .

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten eine digitale Uhr, die ${}24$ Stunden, ${}60$ Minuten und ${}60$ Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer ${}11$ Stunden, ${}11$ Minuten und ${}11$ Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?