Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 27

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Wir betrachten die Matrix

{}M={\begin{pmatrix}0&a&b&c&d\\0&0&e&f&g\\0&0&0&h&i\\0&0&0&0&j\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,

über einem Körper ${}K$ . Zeige, dass die fünfte Potenz von ${}M$ gleich ${}0$ ist, also

{}M^{5}=MMMMM=0\,.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine injektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ nicht nilpotent ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi ^{n}=0$ ist, wobei ${}n$ die Dimension von ${}V$ bezeichnet.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine nilpotente lineare Abbildung. Zeige, dass ${}0$ der einzige Eigenwert von ${}\varphi$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige

{}\varphi =0\,.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Determinante von ${}\varphi$ ?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine nilpotente lineare Abbildung. Was ist die Spur von ${}\varphi$ ?

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten ${}2\times 2$ - Matrizen

{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}

über ${}K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen ${}x,y,z,w$ .

b) Sind die Gleichungen linear?

Aufgabe *

a) Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$ - Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass ${}M$ nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer ${}3\times 3$ - Matrix ${}M$ , die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

Aufgabe

Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume ${}U_{i}$ im Allgemeinen nicht ${}\varphi$ - invariant sind.

Aufgabe

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein nilpotenter Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ . Es sei

{}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,.

Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung

{}\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i}-1\right)}\geq \dim _{K}{\left(V_{i+1}\right)}-\dim _{K}{\left(V_{i}\right)}\,

gilt.

Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.

Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge

{}S=\{1,\ldots ,n,*\}\,

die Menge der Abbildungen

{}B={\left\{\pi :S\rightarrow S\mid \pi (*)=*\right\}}\,.

Zu ${}\pi \in B$ assoziieren wir (bei einem fixierten Körper ${}K$ ) die lineare Abbildung

\varphi _{\pi }\colon K^{n}\longrightarrow K^{n},

die durch

{}\varphi _{\pi }(e_{i})={\begin{cases}e_{\pi (i)},{\text{ falls }}\pi (i)\neq *\,,\\0,{\text{ falls }}\pi (i)=*\,,\end{cases}}\,

festgelegt ist. Mit ${}M_{\pi }$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.

a) Erstelle die Matrix ${}M_{\pi }$ bei ${}n=4$ für die folgenden ${}\pi$ :

(1)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}*$	${}3$	${}*$	${}*$

(2)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}1$	${}2$	${}3$	${}*$

(3)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$	${}*$

(4)

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}*$
${}\pi (x)$	${}2$	${}2$	${}2$	${}2$	${}*$

b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von ${}M_{\pi }$ ?
c) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ bijektiv?
d) Für welche ${}\pi$ ist ${}M_{\pi }$ nilpotent?
e) Welche Dimension besitzt der Kern von ${}M_{\pi }$ ?
f) Zeige

{}M_{\pi \circ \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,.

g) Zeige, dass jede nilpotente ${}n\times n$ -Matrix ${}M$ ähnlich zu einer Matrix der Form ${}M_{\pi }$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

\psi \colon V\longrightarrow V

eine weitere lineare Abbildung mit

{}\psi \circ \varphi =\varphi \circ \psi \,.

Zeige, dass ${}\psi \circ \varphi$ ebenfalls nilpotent ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

\varphi ,\psi \colon K^{2}\longrightarrow K^{2}

derart, dass weder ${}\varphi \circ \psi$ noch ${}\varphi +\psi$ nilpotent sind.

Aufgabe

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl mit ${}\vert {a}\vert <1$ . Bekanntlich ist

{}\lim _{n\rightarrow \infty }a^{n}=0\,.

Ist die lineare Abbildung

\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax

nilpotent?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}2\times 2$ - Matrix über einem Körper ${}K$ . Zeige, dass ${}M$ genau dann nilpotent ist, wenn sowohl die Determinante als auch die Spur von ${}M$ gleich ${}0$ ist.