Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 40/latex

\setcounter{section}{40}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass ein skalares Vielfaches eines \definitionsverweis {zeitartigen}{}{} \zusatzklammer {raumartigen, lichtartigen} {} {} Vektors wieder zeitartig \zusatzklammer {raumartig, lichtartig} {} {} ist. } {Zeige, dass die Summe von zwei zeitartigen \zusatzklammer {raumartigen, lichtartigen} {} {} Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig \zusatzklammer {raumartig, lichtartig} {} {} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ist die Einschränkung einer \definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{} im $\R^n$ auf einen
\mathl{n-1}{-}dimensio\-nalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} mit der \definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {Beobachtervektor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V }
{ =} { \R v \oplus (\R v)^\perp }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf
\mathl{\R v}{} \definitionsverweis {negativ definit}{}{} und die Einschränkung der Minkowski-Form auf
\mathl{(\R v)^\perp}{} \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 25 }{ 24 } } \\ { \frac{ 7 }{ 24 } } \end{pmatrix}}{} der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

}
{} {}

Die \definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{} werden in Analysis 1 eingeführt.


\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} \sinh \alpha \\ \cosh \alpha \end{pmatrix}}{} der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu
\mathbed {z \in \R} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Vektoren
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} z - { \frac{ 1 }{ z } } \\ z + { \frac{ 1 }{ z } } \end{pmatrix} \text{ und } { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} - z + { \frac{ 1 }{ z } } \\ z + { \frac{ 1 }{ z } } \end{pmatrix}} { }
Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} mit der \definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es seien
\mathl{v,w}{} \definitionsverweis {gleichgerichtete Beobachtervektoren}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ <} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} mit der \definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es seien
\mathl{v,w}{} \definitionsverweis {zeitartige}{}{} Vektoren. Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle^2 }
{ \geq} { \left\langle v , v \right\rangle \cdot \left\langle w , w \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } \\ { \frac{ 3 }{ 2 } } \end{pmatrix}}{} ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In einem \definitionsverweis {vierdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} besitze ein Ereignis die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\-3\\ 1\\4 \end{pmatrix}}{} bezüglich einer \definitionsverweis {Minkowski-Basis}{}{.} Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des \definitionsverweis {Beobachtervektors}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 4 } } \\0\\ 0\\ { \frac{ 5 }{ 4 } } \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Beobachtervektoren}{}{} in zwei \definitionsverweis {Wegzusammenhangskomponenten}{}{} zerfallen. Zeige, dass zwei Beobachtervektoren
\mathl{v,w}{} genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ <} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein zweidimensionaler \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind. }{Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind. }{Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Zeige, dass die Summe von \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} \mathkor {} {\Psi_1} {und} {\Psi_2} {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass die negierte Form
\mathl{- \left\langle - , - \right\rangle}{} den Typ
\mathl{(q,p)}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ einen $K$-Vektorraum bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , { V }^{ * } \right) } } { \operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) } } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für eine \definitionsverweis {hermitesche Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vek\-torraum}{}{} $V$ die Werte
\mathl{\left\langle v , v \right\rangle}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets reell sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vek\-torraum}{}{} $V$ genau dann \definitionsverweis {hermitesch}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} der Form bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ \definitionsverweis {hermitesch}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Der $\R^3$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{6} }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 4 }{ 3 } } \end{pmatrix}}{} ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

In einem \definitionsverweis {vierdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} besitze ein Ereignis die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} -1 \\5\\ 2\\-3 \end{pmatrix}}{} bezüglich einer \definitionsverweis {Minkowski-Basis}{}{.} Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des \definitionsverweis {Beobachtervektors}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 5 }{ 12 } }\\ 0\\ { \frac{ 13 }{ 12 } } \end{pmatrix}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{

Der $\R^3$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. \aufzaehlungdrei{Man gebe eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind. }{Man gebe eine Basis des $\R^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind. }{Man gebe eine Basis des $\R^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearformen}{}{} auf $V$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ =} { n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Bildet die Menge der \definitionsverweis {Skalarprodukte}{}{} auf $V$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des Raumes aller \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} auf $V$?

}
{} {}