Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 51/latex

\setcounter{section}{51}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den Beweis zu Lemma 51.1 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität. }{$G$ ist die Vereinigung aller $G_H$. }{Es sei $g \neq \operatorname{Id} \,$. Das Element $g$ kommt in genau zwei der $G_H$ vor. In welchen? }{Die Halbachsenklasse $K_i$ enthält $n/n_i$ Elemente. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 { \left( 1- \frac{1}{ n} \right) } }
{ =} {\sum_{i = 1}^m { \left( 1 - \frac{1}{n_i} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \operatorname{SO}_{3}\,(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {eigentlichen, linearen Isometrien}{}{} des $\R^3$, die nur eine Halbachsenklasse $K$ besitze. Welche numerische Beziehung würde zwischen ${ \# \left( G \right) }$, ${ \# \left( K \right) }$ und ${ \# \left( G_H \right) }$ \zusatzklammer {\mathlk{H \in K}{}} {} {} bestehen? Folgere, dass es eine solche Symmetriegruppe nicht geben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a-1)d }
{ = }{c-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ \operatorname{SO}_{3}\,(\R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Gruppe}{}{} der \definitionsverweis {eigentlichen, linearen Isometrien}{}{} des $\R^3$ mit einer fixierten \definitionsverweis {Halbachsenklasse}{}{} $K$. Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} des \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm} \, (K) } {g} {\sigma_g : H \mapsto g(H) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Winkel zwischen den Halbachsen \zusatzklammer {der Symmetriegruppen} {} {} der platonischen Körper.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien zwei Halbachsen \mathkor {} {H_1} {und} {H_2} {} im $\R^3$ gegeben. Bestimme die Menge der Drehachsen und der Drehwinkel, die $H_1$ in $H_2$ überführen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte ein \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} in der $x,y$-Ebene mit $(0,0)$ als Mittelpunkt und mit $(1,0)$ als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide $D$ mit oberer Spitze $(0,0,2)$ und unterer Spitze $(0,0,-2)$. Bestimme die Matrizen der \zusatzklammer {eigentlichen} {} {} Bewegungen, die $D$ in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen.

Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte den Würfel




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Snijden_kruisen_evenwijdig.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Snijden kruisen evenwijdig.png } {} {MADe} {nl.wikipedia} {cc-by-sa 3.0} {}

Es sei $\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte \mathkor {} {A} {und} {G} {,} die den Eckpunkt $B$ auf $D$ schickt, und es sei $\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse \zusatzklammer {also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche $A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche $E,F,G,H$ läuft} {} {.}

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge $\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch $\alpha, \beta, \alpha \beta$ und $\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von $\alpha \beta$ und von $\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von $\alpha^2$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist $\alpha^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation $\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {A} {B} {C} {D} {E} }
{\mazeileunddrei {F} {G} {H } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {B} {C} {D} {A} {G} }
{\mazeileunddrei {H} {E} {F} } gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von $\sigma$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} $M$ eine Menge und \maabbeledisp {} {G} {\operatorname{Perm} \, (M) } {g} {\sigma_g } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} in die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} von $M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Perm ( \mathfrak {P} \, (M ))} \, } {g} {(N \mapsto g(N)) } {,} in die Permutationsgruppe der \definitionsverweis {Potenzmenge}{}{} induziert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich jede endliche \definitionsverweis {Gruppe}{}{} als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der $\operatorname{SO}_{n}\,(\R)$ realisieren lässt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien \mathkor {} {A_1,A_2,A_3} {und} {A_4} {} vier Geraden im $\R^3$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei \maabbdisp {f} {\R^3} {\R^3 } {} eine \definitionsverweis {lineare, eigentliche Isometrie}{}{} mit $f(A_i)=A_i$ für $i=1,2,3,4$. Zeige, dass $f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es seien $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ Drehungen um die $x$-Achse, die $y$-Achse und die $z$-Achse mit den Ordungen $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ \zusatzklammer {$\varphi_1$ ist also eine Drehung um den Winkel $360/\ell_1$ Grad um die $x$-Achse, etc.} {} {.} Es sei $1 \leq \ell_1 \leq \ell_2 \leq \ell_3$. Für welche Tupel $( \ell_1, \ell_2, \ell_3)$ ist die von diesen drei Drehungen \definitionsverweis {erzeugte Gruppe}{}{} endlich?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien $U, V$ \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $G$. Zeige folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ UV }
{ = }{ { \left\{ uv \mid u \in U , \, v \in V \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist genau dann eine Gruppe, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ UV }
{ = }{ VU }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. }{Ist $G$ endlich, so gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \# \left( UV \right) } }
{ = }{ { \# \left( U \right) } \cdot { \# \left( V \right) } / { \# \left( U \cap V \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Sind $U$ und $V$ echte Untergruppen von $G$, so gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cup V }
{ \neq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige: Keine der \definitionsverweis {alternierenden Gruppen}{}{} $A_n$ besitzt eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei.

}
{} {}