Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte den Beweis zu Lemma 51.1 mit der dortigen Notation. Begründe die folgenden Aussagen.

1. Eine eigentliche Isometrie mit zwei Fixachsen ist die Identität.
2. ${}G$ ist die Vereinigung aller ${}G_{H}$.
3. Es sei ${}g\neq \operatorname {Id} \,$. Das Element ${}g$ kommt in genau zwei der ${}G_{H}$ vor. In welchen?
4. Die Halbachsenklasse ${}K_{i}$ enthält ${}n/n_{i}$ Elemente.

Aufgabe

Überprüfe die Formel

$2{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}=\sum _{i=1}^{m}{\left(1-{\frac {1}{n_{i}}}\right)}$

für den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die nur eine Halbachsenklasse ${}K$ besitze. Welche numerische Beziehung würde zwischen ${}{\#\left(G\right)}$, ${}{\#\left(K\right)}$ und ${}{\#\left(G_{H}\right)}$ ($H\in K$) bestehen? Folgere, dass es eine solche Symmetriegruppe nicht geben kann.

Aufgabe

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem ${}ab=c$ und ${}(a-1)d=c-1$.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit einer fixierten Halbachsenklasse ${}K$. Bestimme den Kern des Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(K),\,g\longmapsto \sigma _{g}:H\mapsto g(H).$

Aufgabe

Bestimme die Winkel zwischen den Halbachsen (der Symmetriegruppen) der platonischen Körper.

Aufgabe

Es seien zwei Halbachsen ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben. Bestimme die Menge der Drehachsen und der Drehwinkel, die ${}H_{1}$ in ${}H_{2}$ überführen.

Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck in der ${}x,y$-Ebene mit ${}(0,0)$ als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem der Eckpunkte. Betrachte darüber die doppelte Pyramide ${}D$ mit oberer Spitze ${}(0,0,2)$ und unterer Spitze ${}(0,0,-2)$. Bestimme die Matrizen der (eigentlichen) Bewegungen, die ${}D$ in sich überführen, ihre Drehachsen und erstelle eine Verknüpfungstabelle für diese Bewegungen.

Beschreibe ferner, was unter diesen Bewegungen mit den drei Eckpunkten des zugrundeliegenden Dreiecks geschieht.

Aufgabe *

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${}A$ und ${}G$, die den Eckpunkt ${}B$ auf ${}D$ schickt, und es sei ${}\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}E,F,G,H$ läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch ${}\alpha ,\beta ,\alpha \beta$ und ${}\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${}\alpha \beta$ und von ${}\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${}\alpha ^{2}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${}\alpha ^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation ${}\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\sigma (x)$	${}B$	${}C$	${}D$	${}A$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${}\sigma$.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, ${}M$ eine Menge und

$G\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,g\longmapsto \sigma _{g},$

ein Gruppenhomomorphismus in die Permutationsgruppe von ${}M$. Zeige, dass dies in natürlicher Weise einen Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \operatorname {Perm({\mathfrak {P}}\,(M))} \,,\,g\longmapsto (N\mapsto g(N)),$

in die Permutationsgruppe der Potenzmenge induziert.

Aufgabe

Zeige, dass sich jede endliche Gruppe als Untergruppe der ${}\operatorname {SO} _{n}\,(\mathbb {R} )$ realisieren lässt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}A_{1},A_{2},A_{3}$ und ${}A_{4}$ vier Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt mit der Eigenschaft, dass keine drei davon in einer Ebene liegen. Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare, eigentliche Isometrie mit ${}f(A_{i})=A_{i}$ für ${}i=1,2,3,4$. Zeige, dass ${}f$ die Identität ist. Man gebe ein Beispiel an, dass diese Aussage ohne die Ebenenbedingung nicht gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ Drehungen um die ${}x$-Achse, die ${}y$-Achse und die ${}z$-Achse mit den Ordungen ${}\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}$ (${}\varphi _{1}$ ist also eine Drehung um den Winkel ${}360/\ell _{1}$ Grad um die ${}x$-Achse, etc.). Es sei ${}1\leq \ell _{1}\leq \ell _{2}\leq \ell _{3}$. Für welche Tupel ${}(\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})$ ist die von diesen drei Drehungen erzeugte Gruppe endlich?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und seien ${}U,V$ Untergruppen von ${}G$. Zeige folgende Aussagen.

1. ${}UV=\{uv\,\vert \,u\in U,v\in V\}$ ist genau dann eine Gruppe, wenn ${}UV=VU$ gilt.
2. Ist ${}G$ endlich, so gilt ${}{\#\left(UV\right)}={\#\left(U\right)}\cdot {\#\left(V\right)}/{\#\left(U\cap V\right)}$.
3. Sind ${}U$ und ${}V$ echte Untergruppen von ${}G$, so gilt ${}U\cup V\neq G$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige: Keine der alternierenden Gruppen ${}A_{n}$ besitzt eine Untergruppe vom Index zwei.