Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex

\setcounter{section}{54}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {spaltenstochastische Matrix}{}{.} Zeige, dass das Bild eines jeden \definitionsverweis {Verteilungsvektors}{}{} wieder ein Verteilungsvektor ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {spaltenstochastischen Matrizen}{}{} in der Sphäre zum Radius $1$ bezüglich der \definitionsverweis {Spaltensummennorm}{}{} enthalten ist. Gilt hierbei Gleichheit?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} p_1 & p_2 \\ 1-p_1 & 1-p_2 \end{pmatrix}} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} {p_1,p_2 }
{ \leq} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mathl{p_1-p_2}{.} Handelt es sich um eine \definitionsverweis {Eigenverteilung}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere in der Situation von Beispiel 54.2 die Spezialfälle \aufzaehlungsechs{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_1 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_1 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_1 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_1 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_1 }
{ = }{ p_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_1 }
{ = }{ p_2 }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Was bedeutet es für eine \definitionsverweis {spaltenstochastische Matrix}{}{,} dass in einer Zeile alle Einträge positiv sind, und was bedeutet es, dass in einer Spalte alle Einträge positiv sind?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass die Konzepte Relation auf einer Menge $M$ \zusatzklammer {im Sinne von Definition 45.1, wobei die beiden beteiligten Mengen gleich sein mögen} {} {} und gerichteter Graph \zusatzklammer {im Sinne eines Pfeildiagrammes, wobei es von einem Punkt zu einem weiteren Punkt maximal einen Pfeil geben darf} {} {} mathematisch äquivalent sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Digraph example.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Digraph example.svg } {} {MasterMatt} {Commons} {gemeinfrei} {}

Erstelle die \definitionsverweis {Adjazenzmatrix}{}{} zum gerichteten Graphen rechts.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche Besonderheiten zeichnet eine \definitionsverweis {Adjazenzmatrix}{}{} zu einer Äquivalenzrelation aus?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die Gewinnstruktur als eine Relation, durch ein Pfeildiagramm \zusatzklammer {einen gerichteten Graphen} {} {} und durch eine Adjazenzmatrix aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die \definitionsverweis {stochastische Matrix}{}{,} die sich aus der erweiterten \definitionsverweis {Adjazenzmatrix}{}{} zur Gewinnstruktur ergibt, bei der in der Diagonalen überall Einsen \zusatzklammer {Selbstsieg} {} {} stehen \zusatzklammer {damit keine Nullspalte auftritt} {} {.} Wie lautet die zugehörige \definitionsverweis {Eigenverteilung}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In einer Fußballgruppe mit $n$ Mannschaften \zusatzklammer {beispielsweise einer EM-Gruppe oder einer Bundesligahinrunde} {} {} spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft, bei einem Sieg gibt es 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage keinen Punkt. Die Ergebnisse werden in einer $n \times n$-Matrix derart verbucht, dass der Eintrag an der Stelle
\mathl{(M,N)}{} angibt, wie viele Punkte die Mannschaft $M$ im Spiel gegen $N$ erzielt hat \zusatzklammer {an der Stelle
\mathl{(M,M)}{} steht $0$} {} {.} Welcher Vektor kommt heraus, wenn man diese Matrix auf den Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1\\ \vdots\\1 \end{pmatrix}}{} anwendet? Erstelle diese Matrix für die Gruppe $C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten fünf Iterationen zur \definitionsverweis {spaltenstochastischen Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 2 }{ 3 } } \end{pmatrix}} { }
zu den Startverteilungen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } \\{ \frac{ 3 }{ 4 } } \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten vier Iterationen zur \definitionsverweis {spaltenstochastischen Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\{ \frac{ 1 }{ 6 } } & 0 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}} { }
zur Startverteilung
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei ein Kreis mit sechs \zusatzklammer {äquidistanten} {} {} Knoten gegeben, die mit $1,2,3,4,5,6$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$. Erstelle die zugehörige \definitionsverweis {stochastische Matrix}{}{} und berechne die Eigenverteilung\zusatzklammer {en} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {spaltenstochastische}{}{} $n \times n$-Matrix. Zeige direkt, dass $1$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $M$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Unter welchen Bedingungen gilt für \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
\mathl{a_1,a_2 , \ldots , a_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n a_i } }
{ =} { \sum_{i=1}^n \betrag { a_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man interpretiere eine \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} als eine \definitionsverweis {stochastische Matrix}{}{.} Was sind die \definitionsverweis {Eigenverteilungen}{}{?}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {spaltenstochastischen Matrizen}{}{} eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{} im \definitionsverweis {Matrizenraum}{}{}
\mathl{\operatorname{Mat}_{ n } (\R)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Berechne die ersten vier Iterationen zur \definitionsverweis {spaltenstochastischen Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 5 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \\{ \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 3 }{ 10 } } & { \frac{ 8 }{ 21 } } \end{pmatrix}} { }
zur Startverteilung
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {Eigenverteilung}{}{} zur \definitionsverweis {spaltenstochastischen Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 5 } } & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 4 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 2 }{ 7 } } \\{ \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 3 }{ 10 } } & { \frac{ 8 }{ 21 } } \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass das Produkt von zwei \definitionsverweis {spaltenstochastischen Matrizen}{}{} wieder spaltenstochastisch ist. Ist die inverse Matrix zu einer invertierbaren spaltenstochastischen Matrix wieder spaltenstochastisch?

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Fussball.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Fussball.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von $A$ über $B$ durch einen Pfeil von $A$ nach $B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?

}
{} {}